関数の極限(0分の0)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず、素直に $x=2$ を代入してみる。

$$\frac{2^2-4}{2-2}=\frac{0}{0}$$

分母が $0$。計算できない。

だが、諦めるのは早い。

$\frac{0}{0}$ は不定形だ。 分子も分母も $0$ に近づくが、どちらがどう $0$ に近づくかで、比の行き先が変わる。

そして、$\frac{0}{0}$ になったということは、大事な情報でもある。

分子と分母が、どちらも $x=2$ で $0$ になる — つまり両方が $(x-2)$ を因数にもつということだ。

その共通因数こそが、$\frac{0}{0}$ を作っている犯人である。 約分して追い出せばいい。

$$x^2-4=(x+2)(x-2)$$

「$\frac{0}{0}$ は、$0$ を生む共通因数を約分して解消する。」 これが関数の極限の定石だ。

① 因数分解する。 $x^2-4=(x+2)(x-2)$。

$$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2(x\ne 2)$$

② 約分後に代入する。

$$\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=2+2=4$$

まとめ:$\frac{0}{0}$ は「$0$ を作っている共通因数 $(x-2)$」を約分すれば解ける。$x\to 2$ は「$x$ が $2$ に近づく(=$2$ そのものではない)」ので、$(x-2)$ で割ってよい。

発展 — 一歩先へ。 なぜ「$x\ne 2$」だと言い切って、約分してよいのか。極限の定義に立ち返ろう。

$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4$$

この式の意味は、こうだ。

「$x$ を $2$ に近づけると、$f(x)$ は $4$ に近づく」

ここで、$x=2$ ちょうどのときの値は、まったく問題にしていない。

近づく途中の話であって、到着点の話ではない。 だから $x\ne 2$ の範囲で考えてよく、$x-2\ne 0$ だから約分できる。

この区別が、極限のいちばん大事なところである。

極端な例を作ってみよう。

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}x+2& (x\ne 2)\\ 100& (x=2)\end{array}$$

$x=2$ だけ、値が $100$ に飛んでいる変な関数だ。

それでも

$$\underset{x\to 2}{\lim }g(x)=4$$

である。 $x$ を $2$ に近づけると、$g(x)$ は $4$ に近づく。$x=2$ での値($100$)は、極限には何の関係もない。

「近づく先」と「その点での値」は、別の概念なのだ。

この $2$ つが一致するとき、関数は連続という。

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)(\text{連続の定義})$$

上の $g(x)$ は、$x=2$ で不連続。 極限($4$)と値($100$)が違うからだ。

そして、この問題の関数

$$h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$$

は、$x=2$ で"定義されていない" — グラフは直線 $y=x+2$ から、$(2,4)$ の $1$ 点だけを抜いた形になる。そこに穴が空いている。

極限は $4$ なので、この穴を $4$ で埋めれば、連続な関数になる。

除去可能な不連続点と呼ばれる。

「極限は存在するのに、値が定義されていない(あるいは違う値)」 — 微分係数の定義が、まさにこの状況だった。

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ は $h=0$ で定義されない。 だが極限は存在する。その極限値に $f^{\prime }(a)$ という名前をつけた — それが微分だ。

「穴の空いた点で、値を極限で定義する」

この一手が、微積分という巨大な体系の礎になっている。

別解

この式の正体は、「微分係数の定義」である。

式をじっと見てほしい。

$$\frac{x^2-4}{x-2}$$

$f(x)=x^2$ とおくと、$4=f(2)$ だから

$$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$$

この形に、見覚えはないだろうか。

$2$ 点 $(2,f(2))$ と $(x,f(x))$ を結ぶ直線の傾き — 平均変化率だ。

そして、$x\to 2$ の極限をとると?

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f^{\prime }(2)$$

微分係数の定義そのもの!

$f(x)=x^2$ の導関数は $f^{\prime }(x)=2x$ だから

$$f^{\prime }(2)=2\times 2=4$$

本解と同じ答え ✓

この見方が教えてくれること。

$\frac{0}{0}$ の不定形は、じつは「微分の入り口」だった。

微分係数の定義

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

この式は、$h\to 0$ のとき分子も $0$ に近づき、分母も $0$ に近づく — 必ず $\frac{0}{0}$ の形をしている。

つまり、微分とは「$\frac{0}{0}$ を、うまく計算する技術」なのだ。

幾何的に見よう。

$$\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{y\text{ の変化}}{x\text{ の変化}}$$

これは $2$ 点を結ぶ直線(割線)の傾き。

$x$ を $2$ に近づけると、$2$ 点が重なっていく。 割線は、接線に近づく。

$$\text{割線の傾き}⟶\text{接線の傾き}$$

$x=2$ ちょうどでは、$2$ 点が完全に重なって「$2$ 点を結ぶ直線」が定義できない($\frac{0}{0}$ になる理由がこれだ)。

だが、近づける途中の傾きは、ちゃんと $4$ に近づいていく。

$$x=2.1\to 4.1,x=2.01\to 4.01,x=2.001\to 4.001$$

接点そのものでは測れないのに、極限としてなら測れる。

この逆説を乗り越えるために、$300$ 年前にニュートンとライプニッツが微分を作った。

目の前の $\frac{x^2-4}{x-2}$ は、その歴史の入り口に立っている。