関数の極限(∞-∞・有理化)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\infty -\infty$ の不定形 — 数列版($\sqrt{n^2+n}-n$)とまったく同じ型の関数版だ。処方も同じ、有理化。

$$\sqrt{x^2+3x}-x=\frac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}$$

$\frac{\infty }{\infty }$ になったら最高次の $x$ で割る。分母の根号は $x>0$ で $\sqrt{x^2+3x}=x\sqrt{1+\frac{3}{x}}$ とくくり出せるから、割った結果は $\frac{3}{\sqrt{1+3/x}+1}\to \frac{3}{2}$。

① 有理化する。

$$\sqrt{x^2+3x}-x=\frac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}$$

② 分母の最高次 $x$ で割る。 $\sqrt{x^2+3x}=x\sqrt{1+\frac{3}{x}}$($x>0$)。

$$=\frac{3x}{x\sqrt{1+\frac{3}{x}}+x}=\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}$$

③ 極限をとる。 $\frac{3}{x}\to 0$。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }=\frac{3}{\sqrt{1}+1}=\frac{3}{2}$$

まとめ:$\infty -\infty$ の根号は有理化してから最高次で割る。分子の $3x$ の係数 $3$ が最後まで効き、答えは $\frac{3}{2}$。$x>0$ で $\sqrt{x^2}=x$(絶対値に注意)。

発展 — 一歩先へ。 別解の「遠方で $y=x+\frac{3}{2}$ に寄り添う」は、双曲線の漸近線の親戚だ。実際、$y=\sqrt{x^2+3x}$ のグラフは遠方でこの直線との差が $0$ に潰れる — 極限の計算が、グラフの漸近的な姿の計算になっている。

$x\to -\infty$ 版($\sqrt{x^2+3x}+x$ の形になる)では $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ の処理が加わり、この型の頻出ひっかけになる。「$\pm \infty$ のどちらへ飛ばすか」で根号の外し方が変わる — 符号の検分だけは近似の感覚に頼らず、毎回手で確かめたい。

別解

くくり出しのあとに現れる $\sqrt{1+\frac{3}{x}}$ を、一次近似で読むと答えが先に見える。

$t$ が小さいとき

$$\sqrt{1+t}\approx 1+\frac{t}{2}$$

($\sqrt{1.02}\approx 1.01$ という平方根の暗算術だ。)$x$ が大きければ $t=\frac{3}{x}$ は小さいから

$$\sqrt{x^2+3x}=x\sqrt{1+\frac{3}{x}}\approx x\left(1+\frac{3}{2x}\right)=x+\frac{3}{2}$$

つまり $\sqrt{x^2+3x}$ は遠方で「$x+\frac{3}{2}$ という直線」にぴったり寄り添う。$x$ を引いた残りが $\frac{3}{2}$ — 極限の答えは、この漸近直線の切片だった。

$\approx$ を使わない正式な答案は本解の有理化で書く。だが「根号の中の $+3x$ は、外では半分の $+\frac{3}{2}$ になる」という半減の感覚は、この型($\sqrt{x^2+ax}-x\to \frac{a}{2}$)を見た瞬間の即答と検算を可能にする。