無限等比級数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 無限個の数を足す。答えは無限大になりそうに思える。

ところが、そうならない。

$$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots$$

足す数が、どんどん小さくなるからだ。 次に足す量が $\frac{1}{3}$ 倍ずつ縮んでいく。

部分和を計算してみよう。

$$1,1.333,1.444,1.481,1.494,\dots$$

$1.5$ に近づいて、そこで止まりそうだ。

この直感は正しい。 $|r|<1$ の等比級数は、必ず有限の値に収束する。

$$S=\frac{a}{1-r}(a=\text{初項},r=\text{公比})$$

「無限に足しても、有限に収まることがある」 — これは驚くべき事実だ。まずこの感覚を掴んでほしい。

初項 $a=1$、公比 $r=\frac{1}{3}$。$|r|<1$ なので収束する。

$$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots =\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$$

まとめ:無限に足しても有限の値に落ち着くのが等比級数($|r|<1$ のとき)。和は $\frac{a}{1-r}$。ここでは $\frac{1}{1-1/3}=\frac{3}{2}$。分母の計算に注意。

発展 — 一歩先へ。 「足す数が $0$ に近づけば、和は収束する」— そう思っていないだろうか。

残念ながら、これは間違いだ。

反例が、$1$ つある。

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots$$

調和級数と呼ばれる。

足す数 $\frac{1}{n}$ は、確かに $0$ に近づく。 それでも、この和は無限大に発散する。

信じがたいので、証明を見てほしい。

項を、こうグループ分けする。

$$1+\frac{1}{2}+\underset{2\text{ 項}}{\underbrace{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)}}+\underset{4\text{ 項}}{\underbrace{\left(\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{8}\right)}}+\underset{8\text{ 項}}{\underbrace{\left(\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{16}\right)}}+\cdots$$

各グループを、下から評価する。

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>\frac{1}{8}\times 4=\frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{16}>\frac{1}{16}\times 8=\frac{1}{2}$$

どのグループも、$\frac{1}{2}$ より大きい。

そんなグループが、無限に続く。

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots \to \infty$$

和は、無限大に発散する。

ただし、発散のスピードは絶望的に遅い。

和が $10$ を超えるには、約 $12,367$ 項。 和が $100$ を超えるには、約 $10^{43}$ 項 — 宇宙の全原子を使っても足りない。

それでも、無限に足せば、どんな大きな数も超えていく。

この違いは、どこから来るのか。

$$\text{等比級数}\frac{1}{3^n}:\text{減り方が指数的}\to \text{収束}$$

$$\text{調和級数}\frac{1}{n}:\text{減り方が緩やか}\to \text{発散}$$

「$0$ に近づく」だけでは足りない。「十分速く $0$ に近づく」ことが要る。

ちなみに、$\frac{1}{n^2}$ なら収束する。

$$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1.6449$$

なぜか $\pi$ が出てくる。 オイラーが $1735$ 年に解いた、バーゼル問題である。

$\frac{1}{n}$ は発散し、$\frac{1}{n^2}$ は収束する。 その境目のぎりぎりに、無限の深淵が口を開けている。

別解

「自分自身」を使って、方程式を立てる。

公式を忘れても、この手が使える — 級数の"自己相似性"を突く別解である。

和を $S$ とおく。

$$S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots$$

ここで、右辺の $2$ 項目以降をよく見る。

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots$$

全体を $\frac{1}{3}$ でくくると

$$\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots \right)$$

カッコの中は、$S$ そのものだ!

無限に続く級数だからこそ、$1$ 項ずらしても同じ形が現れる。 これを自己相似という。

だから、こう書ける。

$$S=1+\frac{1}{3}S$$

$S$ についての、ただの $1$ 次方程式になった。

解く。

$$S-\frac{1}{3}S=1⟹\frac{2}{3}S=1⟹S=\frac{3}{2}$$

本解と同じ答え ✓

公式 $\frac{a}{1-r}$ の正体が、これで分かる。

一般に $S=a+rS$ とおけば

$$S(1-r)=a⟹S=\frac{a}{1-r}$$

公式は、この $1$ 次方程式を解いた結果にすぎなかった。

ただし — 大事な注意がある。

この計算は、「$S$ が有限の値として存在する」ことを前提にしている。

存在しない場合に使うと、嘘の答えが出る。

やってみよう。 $1+2+4+8+\cdots$(公比 $2$)で、同じ操作をする。

$$S=1+2(1+2+4+\cdots )=1+2S$$

$$-S=1⟹S=-1$$

正の数を無限に足したのに、答えが $-1$?

もちろん、間違いだ。 この級数は $+\infty$ に発散し、$S$ という有限の値は存在しない。存在しないものを $S$ とおいて計算したから、無意味な答えが出た。

$$\boxed{\text{自己相似の式が使えるのは }|r|<1\text{ のときだけ}}$$

「収束を確かめてから、計算する」 — この順序を逆にすると、数学は簡単に嘘をつく。

便利な技法ほど、使ってよい条件を確認する習慣が要る。