ライプニッツ級数(積分から π/4)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交代級数 $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots$ の一般項 $\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}$ は、$\arctan$ の級数を思わせる。

出発点は等比級数 $\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-\cdots =\sum (-x^2{)}^k$。

これを $[0,1]$ で項別に積分する。左辺は $\arctan 1=\frac{\pi }{4}$、右辺の各項 ${\int }_0^1(-1{)}^k{x}^{2k}dx=\frac{(-1{)}^k}{2k+1}$ が求める級数。だから和は $\frac{\pi }{4}$。

① 級数に展開して積分。 $\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$ を $[0,1]$ で項別積分する。左辺は $${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=[\arctan x{]}_0^1=\arctan 1=\frac{\pi }{4}.$$ ② 右辺の積分。 $${\int }_0^1(1-x^2+x^4-\cdots )dx=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}.$$ ③ 等号。 左辺 $=$ 右辺だから $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}=\frac{\pi }{4}.$$

まとめ $\frac{1}{1+x^2}$ を等比級数に開いて $[0,1]$ で積分すると、左は $\arctan 1=\frac{\pi }{4}$、右が交代級数。ライプニッツの公式 $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots =\frac{\pi }{4}$。無限級数と積分($\arctan$)の融合。

発展 — 一歩先へ。 同じ $\arctan$ の級数を $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ で使うと $\frac{\pi }{6}$ が公比 $\frac{1}{3}$ で速く求まる。歴史的には $\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$(マチンの公式、1706年)のように、小さい $x$ の $\arctan$ を組み合わせて $\pi$ を高速計算してきた。級数は「どこで評価するか」で実力が全く変わる。

別解

別解 — 収束の速さと、より速い級数(得意な人向けの視点)。 ライプニッツ級数 $\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots$ は美しいが、収束はとても遅い。交代級数の誤差は「次の項の大きさ」以下なので、$\frac{\pi }{4}$ を小数 $n$ 桁求めるには項が約 $10^n$ 個いる。$\pi$ の計算には実用的でない。

同じ $\arctan$ の級数でも、$x$ を小さくとると激変する。$\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}$ を使うと

$$\frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1-\frac{1}{3\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 3^2}-\cdots \right)$$

で、公比 $\frac{1}{3}$ の等比が効いて猛烈に速く収束する(数十項で十数桁)。実際の円周率計算では、こうした「小さい $x$ の $\arctan$」を組み合わせた公式(マチンの公式など)が使われてきた。

$x=1$ で成り立つ(本解)ことと、実用的に使える収束の速さは別物。$\arctan$ の級数は「どの $x$ を入れるか」で表情が一変する。