cos x = x の解の存在と一意性

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 解の存在は中間値の定理(連続関数が両端で符号を変えれば間に解がある)で、$g(x)=x-\cos x$ の端点の符号を見るだけ。

難所は一意性だ。$g$ が狭義増加なら解は1つに限る。微分を使わずに単調性を出すには、$\cos$ の差を和積でほどいて $|\sin t|\le |t|$ に落とす。

すると「$\cos$ の値の差は $x$ の差より必ず小さい(縮む)」ことが分かり、$x$ の増加分を打ち消せない、と言い切れる。

① 存在。 $g(x)=x-\cos x$ は連続で

$$g(0)=-1<0,g\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2}>0$$

よって中間値の定理から $0<x<\frac{\pi }{2}$ に解が存在する。

② cos の差の縮小。 $x_1<x_2$ とする。和積の公式で

$$\cos x_2-\cos x_1=-2\sin \frac{x_1+x_2}{2}\sin \frac{x_2-x_1}{2}$$

絶対値をとると、$\left|\sin \frac{x_1+x_2}{2}\right|\le 1$ と $\left|\sin \frac{x_2-x_1}{2}\right|<\frac{x_2-x_1}{2}$($\frac{x_2-x_1}{2}>0$ だから等号なし)より

$$|\cos x_2-\cos x_1|<2\cdot 1\cdot \frac{x_2-x_1}{2}=x_2-x_1$$

③ 一意性。 ②より

$$g(x_2)-g(x_1)=(x_2-x_1)-(\cos x_2-\cos x_1)\ge (x_2-x_1)-|\cos x_2-\cos x_1|>0$$

よって $g$ は狭義増加で、$g(x)=0$ の解はただ1つ。①とあわせて、解はただ1つで $0<x<\frac{\pi }{2}$ にある。

まとめ: 「存在=中間値、一意=単調」の役割分担。単調性を『差の縮小』$|\cos x_2-\cos x_1|<|x_2-x_1|$ で示すのが本問の腕で、この解($0.739\cdots$)は電卓で $\cos$ を押し続けると誰もが出会う「動かない点」だ。

発展 — 一歩先へ。 ②の縮小性 $|\cos x_2-\cos x_1|<|x_2-x_1|$ は、一意性だけでなく収束まで与える。どんな値から始めても、$\cos$ を繰り返し押すと($x_{k+1}=\cos x_k$)、不動点との距離が毎回縮み、$0.739\cdots$ に吸い込まれていく。電卓で $\cos$ を連打すると誰でも出会うあの数の正体は、「縮小写像の不動点」という由緒ある概念だ。

別解

微分を学んだあとの視点($g^{\prime }\ge 0$ の3行)。 微分法(この先の単元)を使えるようになると、一意性の議論は劇的に縮む。

$$g(x)=x-\cos x⟹g^{\prime }(x)=1+\sin x\ge 0$$

等号は $\sin x=-1$、すなわち $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ の孤立した点だけで起きる。区間のどこでも $g^{\prime }\ge 0$ で、恒等的に $0$ になる区間はないから、$g$ は狭義増加。よって $g(x)=0$ の解は高々1つで、存在(中間値の定理)とあわせてちょうど1つ。

本解の和積+$|\sin t|\le |t|$ は、この $g^{\prime }>0$ の内容を「微分なしの言葉」で言い直したものにほかならない。実際、$\frac{\cos x_2-\cos x_1}{x_2-x_1}$ の縮小率が $1$ 未満というのは、平均変化率の言葉で $|(\cos x{)}^{\prime }|=|\sin x|\le 1$ ということだ。学年が進んだら、証明を微分で書き直してみると両者の対応が腑に落ちる。