逆数の平方和の n 倍の極限

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 各項はほぼ $\frac{1}{n^2}$、項数は $n+1$ 個。和はほぼ $\frac{1}{n}$ で、$n$ 倍すれば有限の値に落ち着くはず、と見当がつく。

$\frac{1}{k^2}$ の和は正確に求まらない。そこで、足すと望遠鏡式に潰れる形で両側からはさむ。

分母 $k^2$ を $k(k+1)$(大きくゆがめる=下から)と $(k-1)k$(小さくゆがめる=上から)に取り替えると、どちらも部分分数で崩れて端の項だけが残る。

① 下から。

$$\sum _{k=n}^{2n}\frac{1}{k^2}>\sum _{k=n}^{2n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n+1}$$

② 上から。

$$\sum _{k=n}^{2n}\frac{1}{k^2}<\sum _{k=n}^{2n}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{2n}$$

③ $n$ 倍してはさみうち。

$$n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n+1}\right)=1-\frac{n}{2n+1}⟶1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

$$n\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{2n}\right)=\frac{n}{n-1}-\frac{1}{2}⟶1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

両端がともに $\frac{1}{2}$ に収束するから、求める極限は $\frac{1}{2}$。

まとめ: 「求まらない和は、望遠鏡式に潰れる形で両側からはさむ」— 分母のゆがめ方(上へは $k(k+1)$、下へは $(k-1)k$)が技の核心。じつはこの極限は区分求積(曲線 $\frac{1}{x^2}$ の $1$ から $2$ までの面積 $\frac{1}{2}$)としても読めて、2つの道が同じ答えに着地する。

発展 — 一歩先へ。 裾の全体は $n{\sum }_{k\ge n}\frac{1}{k^2}\to 1$(同じはさみで出る)。つまり $[n,2n]$ の部分和 $\frac{1}{2}$ は「裾のちょうど半分」を占めている。一般に $n{\sum }_{k=n}^{cn}\frac{1}{k^2}\to 1-\frac{1}{c}$ で、区分求積の言葉なら ${\int }_0^{c-1}\frac{dx}{(1+x{)}^2}$。和の範囲を動かすと積分の上端が動く — 2つの見方の対応がきれいに機能する。

別解

区分求積で読む(積分を学んだあとの視点)。 $k=n+j$($j=0,1,\dots ,n$)と添字を平行移動すると

$$n\sum _{k=n}^{2n}\frac{1}{k^2}=n\sum _{j=0}^n\frac{1}{(n+j{)}^2}=\frac{1}{n}\sum _{j=0}^n\frac{1}{{\left(1+\frac{j}{n}\right)}^2}$$

これは関数 $y=\frac{1}{(1+x{)}^2}$ を $[0,1]$ で $n$ 等分した長方形の和(区分求積)そのものだ。

$n\to \infty$ で和は面積に近づく:

$$\frac{1}{n}\sum _{j=0}^n\frac{1}{{\left(1+\frac{j}{n}\right)}^2}⟶{\int }_0^1\frac{dx}{(1+x{)}^2}={\left[-\frac{1}{1+x}\right]}_0^1=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

はさみうち(本解)は極限の単元の道具だけで完結し、区分求積は「なぜ $\frac{1}{2}$ なのか」を面積として見せてくれる。積分法を学んだら、この問題に戻って2つ目の目で眺めてほしい。