数列の極限(和の公式利用)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分子 $1+2+\cdots +n$ は項の個数が $n$ 個で、$n$ とともに増えていく。このままでは極限がつかめない。

そこで、和の公式 $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ を使って、分子を $n$ の式に閉じる。

すると全体は $\frac{\infty }{\infty }$ の形になる。

あとは分子・分母を最高次で割れば極限が読める、と見通す。

① 分子を和の公式でまとめる。

$$\frac{1+2+\cdots +n}{n^2}=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}=\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n+1}{2n}$$

② 最高次で割る。 分子・分母を $n$ で割る。

$$=\frac{1+\frac{1}{n}}{2}\to \frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}$$

まとめ:「$\Sigma$ を含む極限」は、まず $\Sigma$ の公式で分子を $n$ の式にまとめる。あとは $\frac{\infty }{\infty }$ の処理(最高次で割る)。分子は $2$ 次、分母も $2$ 次で、係数の比 $\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}$ が残る。

発展 — 一歩先へ。 べきを上げても同じ筋道でいける。$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^p+2^p+\cdots +n^p}{n^{p+1}}=\frac{1}{p+1}$。

$p=1$ なら $\frac{1}{2}$、$p=2$ なら $\frac{1}{3}$、$p=3$ なら $\frac{1}{4}$。分母の次数を $1$ つ上げるごとに、極限は $\frac{1}{p+1}$ へ下がる。

これは、$1^p+\cdots +n^p$ の最高次の項が $\frac{n^{p+1}}{p+1}$ だから。和の公式(ファウルハーバーの公式)の先頭係数が、そのまま極限になる。この値は面積 ${\int }_0^1{x}^{p}dx=\frac{1}{p+1}$ とも一致する。

別解

別解 — 面積に読みかえる(区分求積法の視点)。 分子・分母を作りかえて、和を「細い長方形の面積の合計」とみる。

$$\frac{1+2+\cdots +n}{n^2}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}.$$

これは、幅 $\frac{1}{n}$・高さ $\frac{k}{n}$ の長方形を $k=1$ から $n$ まで積み上げた面積。$n$ を大きくすると、直線 $y=x$ と $x$ 軸・直線 $x=1$ が囲む三角形の面積に近づく。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}={\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}.$$

底辺 $1$・高さ $1$ の三角形の面積 $\frac{1}{2}$。和の公式で処理する本解と同じ答え。$\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)\to {\int }_0^{1}f(x)dx$ という区分求積の見方だと、答え $\frac{1}{2}$ が三角形の面積として目に見える。