関数の極限(分数・無限大)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x\to \infty$ で、分子も分母も無限大 — また $\frac{\infty }{\infty }$ の不定形だ。

数列でやったことと、まったく同じ手が使える。

分母の最高次($x$)で、分子・分母を割る。

$$\frac{2x+1}{x-3}=\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}$$

$x\to \infty$ で $\frac{1}{x}\to 0$、$\frac{3}{x}\to 0$。

$$\to \frac{2+0}{1-0}=2$$

数列($n\to \infty$)でも、関数($x\to \infty$)でも、手法は共通だ。

違いは、$n$ が自然数だけを動くのに対し、$x$ は実数として連続に動くことだけ。 無限大に飛ばすときの計算は、何も変わらない。

「$\frac{\infty }{\infty }$ は最高次で割る」 — この $1$ 手を、あらゆる場面で使う。

分子・分母を $x$ で割る。

$$\frac{2x+1}{x-3}=\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}$$

$x\to \infty$ で $\frac{1}{x}\to 0$、$\frac{3}{x}\to 0$ なので

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=\frac{2+0}{1-0}=2$$

まとめ:関数の $\frac{\infty }{\infty }$ も、数列と同じく分母の最高次で割る。$\frac{1}{x}\to 0$ が効いて、最高次の係数比 $\frac{2}{1}=2$ が残る。

発展 — 一歩先へ。 この極限は、じつはグラフの"全体像"を語っている。

関数を、割り算で整理してみよう。

$$\frac{2x+1}{x-3}=\frac{2(x-3)+7}{x-3}=2+\frac{7}{x-3}$$

双曲線の形になった!

この関数の姿が、完全に見える。

• 縦の漸近線: 分母が $0$ になる $x=3$
• 横の漸近線: $x\to \pm \infty$ で $\frac{7}{x-3}\to 0$ だから $y=2$

この問題で計算した極限 $2$ は、横の漸近線の高さだったのである。

$1$ つの関数を、$3$ つの角度から見てみよう。

① $x\to \infty$(右の彼方)

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=2$$

右へ行くと、$y=2$ に上から近づく($\frac{7}{x-3}>0$ だから)。

② $x\to -\infty$(左の彼方)

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=2$$

左へ行っても、$y=2$ に。 ただし今度は下から($\frac{7}{x-3}<0$)。

③ $x\to 3$(縦の漸近線)

$$\underset{x\to 3+0}{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=+\infty ,\underset{x\to 3-0}{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=-\infty$$

$x=3$ の近くで、上下に吹き飛ぶ。

この $3$ つの極限で、グラフの全体像が決まった。

右上と左下に $2$ つの枝をもつ、$y=2$ と $x=3$ を漸近線とする双曲線である。

極限は、グラフを描くための道具でもある。

関数の"果て"で何が起きているかを知ることが、その関数の性格を知ることなのだ。

数学IIIでグラフの概形を描くとき、必ず次の $3$ つを調べる。

• 無限の彼方での挙動(横・斜めの漸近線)→ 極限
• 分母が $0$ になる点での挙動(縦の漸近線)→ 極限
• 増減と凹凸 → 微分

極限は、微分と並ぶ「グラフを描く $2$ 本の柱」の $1$ 本である。

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=2$ という $1$ 行の計算が、$1$ 本の漸近線を引いている。

別解

無限大を、$0$ に引き寄せる — 置き換えの技法。

「$x\to \infty$」は扱いにくい。 無限は、代入できないからだ。

そこで、無限を有限に変換する。

$$t=\frac{1}{x}\text{とおく}$$

この置き換えで、何が起こるか。

$$x\to \infty ⟹t\to 0$$

無限の彼方が、原点に引き寄せられた!

式を $t$ で書き直す。 $x=\frac{1}{t}$ を代入する。

$$\frac{2x+1}{x-3}=\frac{\frac{2}{t}+1}{\frac{1}{t}-3}$$

分子・分母に $t$ を掛けて、分数を整理する。

$$=\frac{2+t}{1-3t}$$

きれいになった。

ここで $t\to 0$ の極限をとる。 この式は $t=0$ で分母が $1\ne 0$ だから、そのまま代入できる。

$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{2+t}{1-3t}=\frac{2+0}{1-0}=2$$

本解と同じ答え ✓

この方法の本質。

不定形 $\frac{\infty }{\infty }$ が、代入可能な普通の式に化けた。

「無限大での挙動」を、「$0$ の近くでの挙動」に翻訳したのだ。

$0$ の近くなら、代入して確かめられる。 これは大きな利点だ。

この置き換えは、いろいろな場面で活躍する。

たとえば、$\underset{x\to \infty }{\lim }x\sin \frac{1}{x}$ を求めよ、と言われたら。

そのままでは $\infty \times 0$ の不定形で、手が出ない。

$t=\frac{1}{x}$ とおくと

$$x\sin \frac{1}{x}=\frac{\sin t}{t}$$

$t\to 0$ だから

$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1$$

基本極限に化けた!

$\infty \times 0$ という手の出ない形が、$\frac{\sin t}{t}\to 1$ という既知の極限に翻訳された。

「見たことのない形を、見たことのある形に変換する」

置き換え(変数変換)は、そのための最も強力な道具である。 積分でも、微分方程式でも、同じ発想が繰り返し現れる。

無限が扱いにくいなら、有限に引き寄せればいい。 $t=\frac{1}{x}$ という $1$ 行が、それをやってのける。