階乗を含む数列の極限(はさみうち)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2^n$ も $n!$ も $\infty$ に発散するが、階乗のほうが圧倒的に速く増える。だから極限は $0$ と予想できる。

これを厳密に示すには、$\frac{2^n}{n!}$ を分数の積 $\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdots \frac{2}{n}$ とみる。

$3$ 番目以降の因数 $\frac{2}{3},\frac{2}{4},\dots$ はすべて $\frac{2}{3}$ 以下。

そこで、$0$ に収束する等比の式で上から押さえる(はさみうち)、と見通す。

① 分数の積で書く。

$$\frac{2^n}{n!}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{4}\cdots \frac{2}{n}$$

② 上から押さえる。 $n\ge 3$ のとき、$\frac{2}{3},\frac{2}{4},\dots ,\frac{2}{n}$ はすべて $\frac{2}{3}$ 以下。前の $2$ 因数 $\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{2}=2$ をまとめると、残り $n-2$ 個の因数がそれぞれ $\frac{2}{3}$ 以下だから

$$0<\frac{2^n}{n!}\le 2\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-2}$$

③ はさみうち。 $\frac{2}{3}<1$ だから ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-2}\to 0$、右辺 $\to 0$。よって

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}=0$$

まとめ:階乗を含む極限は「分数の積にして、途中から一定の比以下で押さえる → はさみうち」。$n\ge 3$ で因数が $\frac{2}{3}$ 以下なので、$0$ に収束する等比の式で上から挟む。階乗の増加は指数より速い、を厳密化した形。

発展 — 一歩先へ。 じつは $2$ を任意の定数 $c$ に替えても $\frac{c^n}{n!}\to 0$。階乗は、どんな指数関数より速く増える。

この事実は $e^c=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{c^n}{n!}$ が収束することの土台でもある。収束する級数の各項は $0$ に近づかねばならないから、$\frac{c^n}{n!}\to 0$ が必要になる。

「階乗 $>$ 指数 $>$ 多項式 $>$ 対数」という増加の速さの序列は、極限の大小を見抜く物差しになる。迷ったらこの序列を思い出すとよい。

別解

別解 — 隣どうしの比を見る(得意な人向けの視点)。 項がどれくらいの速さで小さくなるかは、隣の項との比で分かる。

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\frac{2}{n+1}.$$

$n$ が大きくなると比は $0$ に近づく。とくに $n\ge 3$ では $\frac{2}{n+1}\le \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。

つまり第 $3$ 項からは、$1$ 項進むごとに半分以下になる。$a_3=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ を出発点にすると

$$0<a_n\le a_3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-3}=\frac{4}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-3}\to 0.$$

分数の積で $\frac{2}{3}$ 以下を並べる本解と同じ発想を、「比」で言い換えたもの。比が一定値未満に収まれば、項は等比のように $0$ へ落ちる。級数の収束判定(ダランベール)につながる見方だ。