関数と極限の解説

関数と極限は、数学IIIの最初の単元で、分数関数・無理関数・逆関数といった関数の準備と、数列の極限・無限級数・関数の極限・連続性という「極限」の本体からなります。極限はこのあと学ぶ微分・積分の定義に使われ、単独でも入試によく出ます。

関数の準備: 分数関数・無理関数・逆関数

分数関数 $y=\frac{k}{x-a}+b$ のグラフは、漸近線 $x=a$、$y=b$ をもつ双曲線です。一般形 $y=\frac{cx+d}{ax+b}$ は、割り算してこの形に直します。無理関数 $y=\sqrt{ax+b}$ は、定義域(根号の中が0以上)を最初に確認します。分数関数のグラフと無理関数のグラフで、漸近線と定義域を図に描く練習をしてください。

逆関数は $x$ と $y$ を入れ替えて $y$ について解いたもので、グラフは直線 $y=x$ に関して対称です。元の関数の値域が逆関数の定義域になる、という対応は逆関数の問題で練習できます。

数列の極限

$\frac{\infty }{\infty }$ の形は分母の最高次の項で分子分母を割ります。$\infty -\infty$ の形(根号の差など)は有理化して $\frac{\infty }{\infty }$ の形に直します。無限等比数列 $r^n$ は $|r|<1$ なら0、$r=1$ なら1、$r>1$ なら発散、$r\le -1$ なら振動(発散)です。数列の極限(分数)、標準の∞-∞・有理化、無限等比数列の極限で、この3つの型を練習してください。

型に当てはまらない数列は、はさみうちの原理を使います。$-\frac{1}{n}\le a_n\le \frac{1}{n}$ のように上下から押さえて、両側が同じ極限に収束すれば、真ん中も収束します。標準のはさみうちの原理と難関の階乗を含む数列の極限で、押さえ方の練習をしてください。

漸化式で定まる数列の極限(応用の同名の問題)は、まず極限値 $\alpha$ を「$a_{n+1}=a_n=\alpha$ とおいた方程式」から予想し、$|a_{n+1}-\alpha |\le r|a_n-\alpha |$ の形の不等式を作って、はさみうちで $\alpha$ に収束することを示します。この「予想して、はさみうちで確認」は、数列の極限でよく使う型です。

無限級数と部分和

無限級数の和は「第 $n$ 項までの部分和 $S_n$ を求めて、$n\to \infty$ の極限をとる」と定義されます。無限等比級数 $\sum a{r}^{n-1}$ は $|r|<1$ のとき $\frac{a}{1-r}$ に収束します。無限等比級数、標準の係数つき、収束条件で、収束条件 $|r|<1$ を必ず確認する習慣をつけてください。循環小数を分数に直す問題(標準の同名の問題)は、無限等比級数の応用です。

部分分数分解で途中が消える級数(標準の部分分数)は、数学Bの数列の和と同じ計算で部分和を求めてから極限をとります。図形に無限等比級数が現れる問題(応用の図形と無限等比級数)は、「相似比が公比になる」ことを図で確かめて式を立てます。

関数の極限と不定形

関数の極限 ${\lim }_{x\to a}f(x)$ で、そのまま代入すると $\frac{0}{0}$ になる形が不定形です。因数分解して共通因数を消すか、有理化します。関数の極限(0分の0)と標準の有理化が、この形の問題です。$x\to \infty$ のときは、数列の極限と同じく最高次で割ります。

三角関数の極限は ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ に帰着させます。たとえば $\frac{\sin 3x}{x}$ なら、$3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}$ と直すのが手順です。$1-\cos x$ は $\frac{1-\cos x}{x^2}\to \frac{1}{2}$ を使うか、半角の公式で ${\sin }^2$ に直します。三角関数の極限、標準の角の調整、1-cos、応用のtan-sin、sin/sinの順に、帰着の仕方を1つずつ確認してください。

連続性と中間値の定理

関数が $x=a$ で連続であるとは、${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$ が成り立つことです。場合分けで定義された関数のつなぎ目で、左右の極限と関数の値が一致するかを調べます(関数の連続性)。

中間値の定理は「連続な関数が区間の両端で異符号なら、その間に $f(x)=0$ となる $x$ がある」という定理で、方程式の解の存在を示すのに使います(標準の中間値の定理、難関の解の存在)。解を求めるのではなく「あることを示す」問題である点が、この単元の特徴です。

学習の順序と入試での出方

基礎12問は、分数関数、無理関数、逆関数、数列の極限、無限等比数列、無限等比級数、関数の極限、三角関数の極限、連続性の順です。標準12問で有理化、循環小数、はさみうち、部分分数の級数、中間値の定理、収束条件を扱い、応用8問で三角関数の極限の応用、(等差)×(等比)の無限級数、図形の級数、漸化式の極限へ進みます。

入試では、極限は数列(漸化式・和の評価)や積分(区分求積法)と組み合わさって出ます。実戦編には区分求積法、$e$ への帰着、$\frac{n!}{n^n}$ の極限、ライプニッツ級数を、最難関編には調和級数の発散、$\cos x=x$ の解の一意性、$\sqrt{n^2+1}$ の正弦の極限など、極限の考え方そのものを問う問題を集めました。