数学III / 関数と極限

部分分数の無限級数

★★★★ 難関無限級数部分分数

問題

無限級数 $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 2 )}$ の和を求めよ。

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$\frac{1}{n ( n + 2 )}$ を部分分数に分ける(分母の差が $2$ なので $\frac{1}{2}$ )。差が $2$ とびなので、部分和では $2$ 項ずつ残る。 $N \to \infty$ の極限を。

解答・解説

方針

部分分数 $\frac{1}{n ( n + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})$ に分ける。部分和(第 $N$ 項まで)を telescoping で求め、 $N \to \infty$ の極限をとる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 無限級数は「部分和(有限個の和)を求めて、その極限をとる」のが基本。

$\frac{1}{n ( n + 2 )}$ は部分分数で $\frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})$ に分けられる。

差が $2$ とびなので、telescoping では隣ではなく $2$ つ先が消える。両端には $2$ 項ずつ残る。

まず部分和 $S_{N}$ を出し、 $N \to \infty$ とする、と見通す。

重要無限級数は「部分和

S_{N}

を求めて

lim_{N \to \infty} S_{N}

」。

\frac{1}{n ( n + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})

① 部分分数に分ける。

$\frac{1}{n ( n + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})$

② 部分和を求める(telescoping)。 第 $N$ 項までの和は、 $2$ とびの差なので $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}$ が前に、 $\frac{1}{N + 1}, \frac{1}{N + 2}$ が後に残る。

$S_{N} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{N + 1} - \frac{1}{N + 2})$

③ 極限をとる。 $N \to \infty$ で $\frac{1}{N + 1}, \frac{1}{N + 2} \to 0$ だから

$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 2 )} = N \to \infty lim S_{N} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

まとめ:無限級数は「部分和 → 極限」。部分分数の差が $2$ とびだと、telescoping で両端に $2$ 項ずつ残る( $1, \frac{1}{2}$ と $\frac{1}{N + 1}, \frac{1}{N + 2}$ )。後ろの $2$ 項は $0$ に収束し、和は $\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$ 。

発展 — 一歩先へ。 同じやり方で、間隔を一般の $k$ にした $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + k )}$ も求まる。差の間隔が $k$ とびだから、前に $k$ 項が残る。

結果は $\frac{1}{k} (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{k})$ 。今回の $k = 2$ なら $\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$ 、 $k = 1$ なら $1$ 、 $k = 3$ なら $\frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{11}{18}$ 。

前に残る $k$ 項の和が調和数 $1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{k}$ 。telescoping は「差にして両端だけ残す」道具で、間隔ぶんの項が生き残る、と一般化して覚えておくとよい。

答

$\frac{3}{4}$

別解

別解 — 項を書き出して消え方を見る(苦手な人向けの整理ルート)。 どの項が残るか不安なら、 $\frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})$ を最初から並べてみる。

$\frac{1}{2} [n = 1 (1 - \frac{1}{3}) + n = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + n = 3 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + n = 4 (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) + \dots] .$

$n = 1$ の $- \frac{1}{3}$ は $n = 3$ の $+ \frac{1}{3}$ と消える。 $n = 2$ の $- \frac{1}{4}$ は $n = 4$ の $+ \frac{1}{4}$ と消える。 $2$ つ先とペアで消えていく。

結局、前で消し相手がいない $1$ と $\frac{1}{2}$ だけが残り(後ろの $2$ 項 $\frac{1}{N + 1}, \frac{1}{N + 2}$ は $0$ に収束)、和は

$\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4} .$

部分和の式を一気に書く本解と同じ。 $2$ とびの差では「前に $2$ 項残る」ことが、書き出すと目で見える。消える相手が $1$ つ隣ではなく $2$ つ隣、というのがこの問題のポイントだ。

ポイント

$\frac{1}{n ( n + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})$ 。
部分和 $\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{N + 1} - \frac{1}{N + 2}) \to \frac{3}{4}$ 。

よくある間違い

$2$ とびの telescoping で前に $2$ 項( $1, \frac{1}{2}$ )残ることを見落とす。
部分和を求めず、無限和を直接足そうとする。
部分分数の係数 $\frac{1}{2}$ (分母の差が $2$ )を忘れ、和が $2$ 倍ずれる。