数学III / 関数と極限

中間値の定理による解の存在

★★★★ 難関中間値の定理連続関数

問題

方程式 $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ は、 $0 < x < 1$ の範囲に少なくとも $1$ つの実数解をもつことを示せ。

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$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ の連続性と、区間の両端 $f (0)$ 、 $f (1)$ の符号に注目する。異符号なら中間値の定理が使える。

解答・解説

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ とおく。 $f$ は連続。両端の符号 $f (0)$ と $f (1)$ を調べ、異符号なら中間値の定理より間に解がある。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「解が存在する」ことを、解を求めずに示すには中間値の定理。

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ は多項式なので、すべての $x$ で連続。

連続な関数が、区間の両端で符号が反対( $f (0)$ と $f (1)$ が異符号)なら、途中で必ず $0$ を通る。

だから両端の値 $f (0), f (1)$ の符号を調べる、と見通す。

定理中間値の定理:

f

が閉区間

[a, b]

で連続で

f (a)

と

f (b)

が異符号なら、

(a, b)

に

f (x) = 0

の解がある

① 関数をおく。 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ 。多項式だからすべての $x$ で連続。

② 両端の符号。

$f (0) = 0 - 0 + 1 = 1 > 0, f (1) = 1 - 3 + 1 = - 1 < 0$

f(x)=x³−3x+1。f(0)=1>0、f(1)=−1<0 で符号が変わり、(0,1)で x 軸を横切る

③ 中間値の定理を適用する。 $f$ は $[0, 1]$ で連続で、 $f (0) > 0$ 、 $f (1) < 0$ と異符号。よって中間値の定理により、 $0 < x < 1$ の範囲に $f (x) = 0$ となる $x$ が少なくとも $1$ つ存在する。(証明終)

まとめ:解の存在は「連続 + 両端が異符号 → 中間値の定理」。 $f (0) = 1 > 0$ 、 $f (1) = - 1 < 0$ で符号が変わるので、 $(0, 1)$ にグラフが $x$ 軸を横切る点(=解)がある。解を求めずに存在だけ言える強力な定理。

発展 — 一歩先へ。 じつはこの $3$ 次方程式は三角関数で解ける。 $x = 2 cos θ$ と置くと、 $3$ 倍角から $x^{3} - 3 x = 8 cos^{3} θ - 6 cos θ = 2 cos 3 θ$ 。

だから方程式は $2 cos 3 θ + 1 = 0$ 、すなわち $cos 3 θ = - \frac{1}{2}$ に化ける。 $(0, 1)$ の解は $θ = \frac{4 π}{9}$ に対応し、 $x = 2 cos \frac{4 π}{9} \approx 0.347$ 。

$3$ つの実解 $2 cos \frac{2 π}{9}, 2 cos \frac{4 π}{9}, 2 cos \frac{8 π}{9}$ が、この形で書ける。中間値の定理は「存在」だけを言うが、背景では美しい三角関数の解が隠れている。

答

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ は連続で $f (0) = 1 > 0$ 、 $f (1) = - 1 < 0$ 。中間値の定理より $(0, 1)$ に $f (x) = 0$ の解がある。証明は解答参照

別解 — 符号の変化から $3$ つの解を数える(得意な人向けの視点)。 同じ中間値の定理を、いくつかの区間に広げて使うと、この方程式が実は $3$ 実解をもつと分かる。

いくつかの整数で符号を調べる。

$f (- 2) = - 1 < 0, f (0) = 1 > 0, f (1) = - 1 < 0, f (2) = 3 > 0.$

符号が $-, +, -, +$ と $3$ 回変わる。中間値の定理を各区間に使うと、 $(- 2, 0)$ 、 $(0, 1)$ 、 $(1, 2)$ にそれぞれ解が $1$ つずつある。

$3$ 次方程式の実解は多くても $3$ 個だから、これでちょうど $3$ 個すべて。問われた $(0, 1)$ の解はそのうちの $1$ つ。

$1$ つの区間だけ調べる本解を、複数区間へ広げた形。符号の変化を追うと、存在だけでなく「解が何個・どこにあるか」まで見えてくる。