3つの積の逆数の無限級数(部分分数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分母が「連続する3整数の積」。このままでは足せないが、差の形に分解できれば和が畳める(望遠鏡)。

ねらいは $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)$。隣どうしの差になっている。

足すと中間が全部打ち消し合い、両端だけ残る。部分和の極限をとれば無限級数の和が出る。

① 部分分数に。 右辺を通分すると $\frac{1}{2}\cdot \frac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ で一致。

② 部分和(望遠鏡)。 $g(k)=\frac{1}{k(k+1)}$ とおくと項は $\frac{1}{2}(g(k)-g(k+1))$。$k=1$ から $n$ まで足すと中間が打ち消し $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}(g(1)-g(n+1))=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right).$$ ③ 極限。 $n\to \infty$ で $\frac{1}{(n+1)(n+2)}\to 0$ だから $$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}.$$

まとめ $3$ 因子の逆数は $\frac{1}{2}(g(k)-g(k+1))$ の差に分解、望遠鏡和で両端だけ残る。極限 $\frac{1}{4}$。無限級数と部分分数の融合。

発展 — 一歩先へ。 連続整数の積は、いつでも望遠鏡に開ける。$\sum \frac{1}{k(k+1)}=1$、本問の3連続で $\frac{1}{4}$、$4$ 連続 $\frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$ なら $\frac{1}{18}$。一般に $m$ 連続の積の逆和は $\frac{1}{(m-1)\cdot (m-1)!}$。分母の「連続性」そのものが、差に分ける鍵を握っている。

別解

別解 — 部分分数を3つに分けて縦に消す(苦手な人向け)。 いきなり2項の差にする代わりに、まず素朴に3つの分数へ分解する。

$$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1/2}{k}-\frac{1}{k+1}+\frac{1/2}{k+2}.$$

($\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}+\frac{C}{k+2}$ とおき、係数を比べると $A=\frac{1}{2},B=-1,C=\frac{1}{2}$。)

和をとると、$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{m}$ の列、$-\frac{1}{m}$ の列、$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{m}$ の列が1つずつずれて並ぶ。中間の各 $\frac{1}{m}$($m\ge 3$)には $\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}=0$ が掛かって消える。

残るのは両端の数項だけで、部分和は $\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}$、極限は $\frac{1}{4}$。

本解の「2項の差 $\times \frac{1}{2}$」は、この3項分解をあらかじめ望遠鏡の形に束ねたもの。束ねる前の3項分解の方が、なぜ消えるかは目に見えやすい。