逆関数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 逆関数とは、入力と出力を、逆にした関数だ。

もとの関数 $y=2x+3$ は、$x$ を入れて $y$ を返す。

逆関数は、$y$ を入れて $x$ を返す。

$$x\stackrel{f}{\to }yy\stackrel{f^{-1}}{\to }x$$

だから、作り方はこうなる。

「$x$ について解いて、$x$ と $y$ の名前を入れかえる」

式の上では、$x$ と $y$ を入れかえて $y$ について解く、と覚えればよい。

グラフでは、$y=x$ に関して折り返した形になる。 入力軸と出力軸を入れかえるのだから、$45^{\circ }$ の線で鏡映しになるのは当然だ。

手順は $2$ 段階。 入れかえて、解く。それだけである。

① $x$ と $y$ を入れかえる。 $y=2x+3$ の $x$ と $y$ を交換。

$$x=2y+3$$

② $y$ について解く。

$$2y=x-3\Rightarrow y=\frac{x-3}{2}$$

まとめ:逆関数は「入力と出力を逆にした関数」。作り方は $x\leftrightarrow y$ を入れかえて解くだけ。グラフは元の関数を $y=x$ の直線で折り返した位置にくる。

発展 — 一歩先へ。 すべての関数に、逆関数があるわけではない。

$y=x^2$ を考えよう。

$y=4$ になる $x$ は?

$$x=2\text{でも}x=-2\text{でも成り立つ}$$

$2$ つある。 「$4$ を入れたら何が返る?」に、答えが $1$ つに決まらない。

これでは関数にならない(関数は、入力 $1$ つに出力 $1$ つ)。

だから $y=x^2$ には、そのままでは逆関数がない。

逆関数をもつ条件は、はっきりしている。

$$\boxed{\text{異なる x には、必ず異なる y が対応する}}$$

これを $1$ 対 $1$(単射)という。

グラフで判定する方法がある。

横線テスト。 どんな水平線を引いても、グラフと $2$ 回以上交わらなければ、$1$ 対 $1$ である。

• $y=2x+3$(直線)→ 水平線は必ず $1$ 回だけ交わる → 逆関数あり
• $y=x^2$(放物線)→ 水平線 $y=4$ が $2$ 回交わる → 逆関数なし

では、$y=x^2$ を救う方法はないのか。

ある。定義域を制限すればいい。

$$y=x^2(x\geqq 0)$$

右半分だけに絞れば、$1$ 対 $1$ になる。 そして、この逆関数こそが

$$y=\sqrt{x}$$

根号の正体は、「$x\geqq 0$ に制限した $2$ 乗関数」の逆関数だったのだ。

同じ話が、三角関数にもある。

$y=\sin x$ は、周期的に同じ値を繰り返すので、$1$ 対 $1$ ではない($\sin 0=\sin \pi =0$)。

そこで $-\frac{\pi }{2}\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ に制限する。 その逆関数が $\arcsin$(${\sin }^{-1}$)である。

「逆関数が欲しければ、$1$ 対 $1$ になるまで定義域を狭める」

これが、逆三角関数・対数関数・累乗根 — すべての"逆"の関数を作る、共通のレシピである。

逆をたどれるかどうかは、もとの関数が"情報を失っていないか"で決まる。 $2$ 乗は符号の情報を捨てるから、逆をたどれない。捨てないように定義域を切れば、逆がよみがえる。

別解

関数を「操作の手順」と見て、逆再生する。

$y=2x+3$ は、$x$ に対して何をしているか。

$2$ つの操作を、順にやっている。

$$x\stackrel{\text{2 倍する}}{\to }2x\stackrel{\text{3 を足す}}{\to }2x+3$$

逆関数は、この操作を"元に戻す"手続きだ。

元に戻すには、逆の操作を、逆の順番でやる。

$$y\stackrel{\text{3 を引く}}{\to }y-3\stackrel{\text{2 で割る}}{\to }\frac{y-3}{2}$$

順番が逆になることに注意する。 靴下と靴を履くとき、脱ぐのは靴が先だ。最後にやった操作から、先に戻す。

$x$ と $y$ の名前を入れかえて

$$y=\frac{x-3}{2}$$

本解と同じ答え ✓

この見方の強み。

式変形を $1$ 度もしていない。 「$2$ 倍して $3$ 足す」の逆は「$3$ 引いて $2$ で割る」と、言葉で追っただけだ。

検算も、この見方でできる。

$f$ を通してから $f^{-1}$ を通せば、元に戻るはずだ。

$$x=1\stackrel{f}{\to }2(1)+3=5\stackrel{f^{-1}}{\to }\frac{5-3}{2}=1✓$$

式でも確かめよう。

$$f^{-1}(f(x))=\frac{(2x+3)-3}{2}=\frac{2x}{2}=x✓$$

$$f(f^{-1}(x))=2\cdot \frac{x-3}{2}+3=(x-3)+3=x✓$$

どちらの順で通しても、元に戻る。 これが「逆関数である」ことの正しい定義だ。

答えが合っているか不安なときは、必ずこの合成で検算する。

もう $1$ つ、グラフから読めること。

もとの傾きは $2$、逆関数の傾きは $\frac{1}{2}$ — 逆数になっている。

当たり前だ。 $y=x$ で折り返すと、「右に $1$ 進んで上に $2$」が「右に $2$ 進んで上に $1$」に化ける。

この「傾きが逆数」という関係は、あとで逆関数の微分($\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}$)につながっていく。