関数の連続性

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「連続」を、感覚ではなく定義で捉えよう。

感覚的には「グラフがつながっている」ことだ。 ペンを紙から離さずに描ける、という状態。

これを、極限の言葉に翻訳する。

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$$

左辺は「$a$ に近づいたときの、行き先」。 右辺は「$a$ そのものでの、値」。

この $2$ つが一致すれば、連続である。

なぜ、一致しないことがあるのか。

近づいた先が $4$ なのに、そこに実際にあるのは $100$ — そんな関数も作れてしまう。グラフに"飛び"があるのだ。

だから、確かめるのは $2$ つ。

• 極限値($x\to 2$ での行き先)
• 関数の値($f(2)$ そのもの)

この $2$ つを別々に計算し、一致することを見せる。 それが「連続であることを示す」ということだ。

① 極限を計算する。 $f(x)=x^2$ は多項式なので、$x\to 2$ でそのまま代入できる。

$$\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2=4$$

② $x=2$ での値を計算する。

$$f(2)=2^2=4$$

③ 一致を確かめる。 $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)=4$ なので、$f$ は $x=2$ で連続。

まとめ:連続とは「グラフが切れずにつながっている」こと。数式では「近づいた先($\lim$)と、その点の値($f(a)$)が一致」。多項式はどこでも連続なので、代入した値がそのまま極限になる。

発展 — 一歩先へ。 「連続」という性質は、地味に見えて、強力な定理を生む。

中間値の定理。

$f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ で連続で、$f(a)$ と $f(b)$ の符号が違うなら、その間に必ず $f(c)=0$ となる $c$ が存在する。

当たり前に聞こえる。 「マイナスからプラスへ行くなら、途中で $0$ を通るはずだ」

だが、これは連続だからこそ言える。 途中でジャンプできる関数なら、$0$ を飛び越えてしまう。

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& (x<0)\\ 1& (x\geqq 0)\end{array}$$

この関数は $-1$ から $1$ へ行くが、$0$ という値を $1$ 度もとらない。 ジャンプしたからだ。

中間値の定理の威力。

方程式 $x^3-x-1=0$ に、実数解はあるか。

因数分解できない。解の公式も($3$ 次では)実用的でない。

だが、$2$ 点だけ調べればいい。

$$f(1)=1-1-1=-1(<0)$$ $$f(2)=8-2-1=5(>0)$$

多項式は連続。 符号が変わっている。

だから、$1<c<2$ の範囲に、必ず解がある。

解を求めずに、「解が存在する」ことだけを証明できた。

これが存在証明の力だ。

さらに、この定理はコンピュータの計算法にもなる。

二分法。

$1$ と $2$ の真ん中 $1.5$ で調べる → $f(1.5)=-0.125<0$ → 解は $1.5$ と $2$ の間

$1.75$ で調べる → $f(1.75)=0.61>0$ → 解は $1.5$ と $1.75$ の間

これを繰り返すと、区間が半分ずつ縮んでいく。 $30$ 回繰り返せば、区間の幅は $\frac{1}{2^{30}}\approx 10^{-9}$。小数点以下 $9$ 桁まで決まる。

解の公式がなくても、連続性さえあれば、いくらでも精密に解を追い詰められる。

「つながっている」という、ただそれだけの性質。

そこから「必ず解がある」という存在証明が出て、「解を求める方法」まで出てくる。

数学が、当たり前に見える性質を厳密に定義する理由が、ここにある。 定義を固めておけば、そこから思いがけないものが引き出せるのだ。

別解

「連続でない例」を見ることで、連続の意味を浮かび上がらせる。

$f(x)=x^2$ が連続なのは、当たり前すぎて、ありがたみが分からない。

連続が壊れる $3$ つのパターンを見てみよう。

① ジャンプ(飛び)がある。

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& (x<0)\\ 0& (x=0)\\ 1& (x>0)\end{array}$$

$x=0$ の左から近づくと $-1$、右から近づくと $1$。

$$\underset{x\to 0-0}{\lim }f(x)=-1\ne \underset{x\to 0+0}{\lim }f(x)=1$$

左右の行き先が違う。 極限値そのものが存在しない。

グラフは $x=0$ で断崖のように切れている。 ペンを離さずには描けない。

② 穴があいている。

$$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$$

$x=2$ を入れると $\frac{0}{0}$ — 値が定義されていない。

極限は $4$ に近づくのに、$x=2$ という点には、そもそも値が存在しない。

グラフは直線 $y=x+2$ から、$1$ 点だけをくり抜いた形。 穴があいている。

これは、$f(2)=4$ と定義してやれば連続になる(除去可能な不連続)。

③ 無限に飛ぶ。

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

$x\to 0$ で、$|f(x)|$ は無限に大きくなる。 極限値が有限でない。

グラフは $y$ 軸に沿って、上下に吹き飛んでいく。

この $3$ つと比べると、$f(x)=x^2$ の"当たり前さ"がよく分かる。

$$\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2=4\text{かつ}f(2)=4$$

• 左から近づいても、右から近づいても $4$(ジャンプなし)
• $x=2$ でちゃんと値がある(穴なし)
• その値が $4$ で、極限と一致する(飛びなし)

$3$ つの条件をすべて満たしている。

そして、多項式はどこでも連続である。

$x^2$ に限らず、$x^3-5x+1$ でも、$100$ 次式でも、すべての実数で連続だ。

なぜか。 多項式は、足し算・引き算・掛け算だけでできているからだ。

この $3$ つの演算は、極限と自由に交換できる。 割り算(分母 $0$ の危険)も、根号(定義域の制限)も、場合分け(ジャンプの危険)も入っていない。

「連続でなくなる原因」を、多項式は $1$ つも持っていない。

だから、多項式の極限は「代入するだけ」で求まる。 $\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2$ を計算するのに、$x=2$ を代入して $4$ — この当たり前の操作が許されるのは、多項式が連続だからなのである。

当たり前だと思っていた操作の裏には、「連続性」という保証が隠れている。