(等差)×(等比)の無限級数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 各項 $\frac{n}{2^n}$ は、(等差 $n$)×(等比 $\frac{1}{2^n}$)の積の形。

無限級数は、まず有限個の部分和を求め、その極限をとるのが基本。

(等差)×(等比)の部分和は、公比倍してずらし、引く($S-\frac{1}{2}S$)と等比級数にほどける。

こうして部分和を閉じた式にしてから、$n\to \infty$ の極限をとる、と見通す。

① 部分和 $S_n$ に $\frac{1}{2}{S}_n$ をぶつける。

$$S_n=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots +\frac{n}{2^n}$$

$$\frac{1}{2}{S}_n=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\cdots +\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{2^{n+1}}$$

② 引く。 係数の差がすべて $1$ になる。

$$S_n-\frac{1}{2}{S}_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}$$

③ 等比級数の和を入れる。 $\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}$。

$$\frac{1}{2}{S}_n=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}\Rightarrow S_n=2-\frac{2}{2^n}-\frac{n}{2^n}$$

④ 極限をとる。 $\frac{1}{2^n}\to 0$、$\frac{n}{2^n}\to 0$(指数のほうが速く増える)。

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=2$$

まとめ:(等差)×(等比)の無限級数は、まず部分和を $S-rS$ で closed form にし、それから極限。$\frac{n}{2^n}\to 0$(指数は多項式に勝つ)がとどめ。数列の和の技が極限に生きる。

発展 — 一歩先へ。 この和は、等比級数を「微分する」と一気に出る。$|x|<1$ で $\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n=\frac{x}{1-x}$。

両辺を $x$ で微分すると $\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2}$。$x$ を掛けて $\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}$。

$x=\frac{1}{2}$ を入れると $\frac{1/2}{(1/2{)}^2}=2$。一般に $\sum _{n=1}^{\infty }n{r}^n=\frac{r}{(1-r{)}^2}$($|r|<1$)。等比級数を土台に微分や積分を施すと、いろいろな級数の和が芋づる式に得られる。

別解

別解 — 差の形に変えて両端だけ残す(得意な人向けの視点)。 各項を「隣どうしの差」に書けると、部分和は一気に縮む。

$c_n=\frac{n+1}{2^{n-1}}$ とおくと

$$c_n-c_{n+1}=\frac{n+1}{2^{n-1}}-\frac{n+2}{2^n}=\frac{2(n+1)-(n+2)}{2^n}=\frac{n}{2^n}.$$

つまり $\frac{n}{2^n}=c_n-c_{n+1}$。第 $N$ 項までの和は途中がすべて消えて

$$\sum _{n=1}^N\frac{n}{2^n}=c_1-c_{N+1}=2-\frac{N+2}{2^N}\underset{N\to \infty }{\to }2.$$

ずらし引きで部分和を作る本解と同じ答え。うまい $c_n$ を見つければ $\frac{n}{2^n}$ は差にほどけ、telescoping で両端の $c_1=2$ だけが残る。