数学III / 関数と極限

n(a^(1/n)−1) の極限(指数と対数)

実戦編極限指数関数対数関数微分係数単元横断

問題

$a > 0$ とする。 $n \to \infty lim n (a^{\frac{1}{n}} - 1)$ を求めよ。

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$a^{1/ n} = e^{(l o g a) / n}$ 。 $t = \frac{1}{n}$ とおくと $\frac{a ^{t} - 1}{t} = \frac{e ^{t l o g a} - 1}{t}$ 。 $t \to 0$ でこれは $e^{x}$ の $x = 0$ での微分係数に。

解答・解説

方針

$a^{1/ n} = e^{(l o g a) / n}$ と指数関数に直し、 $t = \frac{1}{n} \to 0$ とおく。 $\frac{e ^{c t} - 1}{t} \to c$ ( $e^{x}$ の $x = 0$ での微分)を使う。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $a^{1/ n} \to 1$ 、 $n \to \infty$ で $0 \times \infty$ の不定形。累乗根のままでは扱いにくいので、指数関数に直す。

$a^{1/ n} = e^{(l o g a) / n}$ 。 $t = \frac{1}{n} \to 0$ とおくと、式は $\frac{e ^{t l o g a} - 1}{t}$ の形になる。

これは $e^{x}$ の $x = 0$ での微分係数( $\frac{e ^{c t} - 1}{t} \to c$ )そのもの。 $c = lo g a$ だから極限は $lo g a$ 。

定理

t \to 0 lim \frac{e ^{c t} - 1}{t} = c

(

e^{x}

の

x = 0

での微分係数が

1

)

① 指数関数に直す。 $a^{1/ n} = e^{(l o g a) / n}$ 。 $t = \frac{1}{n}$ とおくと $n \to \infty$ で $t \to + 0$ 、 $n (a^{1/ n} - 1) = \frac{a ^{t} - 1}{t} = \frac{e ^{t l o g a} - 1}{t} .$ ② 微分係数に帰着。 $c = lo g a$ とおくと $\frac{e ^{c t} - 1}{t} = c \cdot \frac{e ^{c t} - 1}{c t}$ 。 $c t \to 0$ で $\frac{e ^{c t} - 1}{c t} \to 1$ 。

③ 極限。 よって $n \to \infty lim n (a^{1/ n} - 1) = c \cdot 1 = lo g a .$

まとめ $a^{1/ n} = e^{(l o g a) / n}$ と直し、 $t = \frac{1}{n} \to 0$ で $\frac{e ^{t l o g a} - 1}{t}$ 。これは $e^{x}$ の微分係数から $lo g a$ 。 $n$ 乗根の $1$ への近づき方が対数を映す。極限と指数対数の融合。

発展 — 一歩先へ。 差の形 $n (a^{1/ n} - b^{1/ n}) \to lo g \frac{a}{b}$ も同じ手で出る。 $a^{1/ n} - b^{1/ n}$ を $n$ 倍すると、対数の差=商の対数に化ける。「累乗根の細かい差を $n$ 倍すると対数」という現象は、対数が「掛け算を足し算に変える」道具であることの、極限を通した現れである。

答

$a^{1/ n} = e^{(l o g a) / n}$ とみて $t = \frac{1}{n} \to 0$ とおくと、 $\frac{e ^{t l o g a} - 1}{t} \to lo g a$ ( $e^{x}$ の $x = 0$ での微分係数)。極限は $lo g a$ 。

別解

別解 — 「累乗根の $n$ 倍」を対数の定義で読む(得意な人向けの高い視点)。 $n (a^{1/ n} - 1)$ を、対数そのものの定義とみる見方がある。

数 $a^{1/ n}$ は $a$ の $n$ 乗根で、 $1$ にごく近い。この「 $1$ からのわずかなずれ」を $n$ 倍したものが、ちょうど $lo g a$ に近づく。実際、 $b_{n} = a^{1/ n}$ とおくと $b_{n}^{n} = a$ 、両辺の対数で $n lo g b_{n} = lo g a$ 。 $b_{n} \to 1$ で $lo g b_{n} \approx b_{n} - 1$ だから

$lo g a = n lo g b_{n} \approx n (b_{n} - 1) = n (a^{1/ n} - 1) .$

歴史的には、対数はまさにこの「累乗根を細かくとって $1$ からのずれを測る」発想で定義された(ネイピア)。 $e^{x}$ の微分(本解)で片づく現代的なルートの背後に、対数の生い立ちが透けて見える。

ポイント

$a^{1/ n} = e^{(l o g a) / n}$ 、 $t = \frac{1}{n} \to 0$ 。
$\frac{e ^{c t} - 1}{t} \to c$ ( $e^{x}$ の $x = 0$ の微分係数)。
極限は $lo g a$ 。

よくある間違い

$a^{1/ n}$ を指数関数 $e^{(l o g a) / n}$ に直す一手を思いつかず、累乗根のまま止まる。
$\frac{e ^{c t} - 1}{t} \to c$ ( $e^{x}$ の $x = 0$ の微分係数)を、 $\to 1$ や $\to c^{2}$ と誤る。
$t = \frac{1}{n} \to 0$ の置換で、 $n = \frac{1}{t}$ を掛け戻すのを忘れる。