漸化式で定まる数列の極限

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 漸化式で定まる数列の極限は、まず一般項を求めるのが正攻法。

この漸化式は「$a_{n+1}=(\text{定数})a_n+(\text{定数})$」の形。特性方程式を使って解ける型だ。

一般項が「定数 $+$ 公比 $|r|<1$ の等比」の形になれば、等比部分は $0$ に消える。

残った定数部分が極限になる。消える項を見極める、と見通す。

① 一般項を求める。 特性方程式 $\alpha =\frac{\alpha +2}{2}$ より $2\alpha =\alpha +2$、$\alpha =2$。

$$a_{n+1}-2=\frac{1}{2}(a_n-2)$$

$a_n-2$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列。初項 $a_1-2=-2$。

$$a_n-2=-2(\frac{1}{2}{)}^{n-1}\Rightarrow a_n=2-2(\frac{1}{2}{)}^{n-1}$$

② 極限をとる。 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\to 0$($|r|<1$)。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=2-2\times 0=2$$

まとめ:漸化式で定まる数列の極限は「一般項を出してから極限」。特性方程式型は「定数 $\alpha$ + 等比」の形になり、$|$公比$|<1$ なら等比部分が消えて、極限は不動点 $\alpha =2$。数列 $\{a_n\}$ は $2$ に近づいていく。

発展 — 一歩先へ。 極限 $2$ は、関数 $g(x)=\frac{1}{2}x+1$ の不動点($g(x)=x$ となる点)。数列は $a_{n+1}=g(a_n)$ と、$g$ を繰り返し施している。

$2$ との差に注目すると $2-a_{n+1}=\frac{1}{2}(2-a_n)$。$1$ 歩ごとに $2$ までの距離がちょうど半分になり、どんな出発点からでも $2$ に吸い込まれる。

この「距離が縮む」性質は傾き $|g^{\prime }(x)|=\frac{1}{2}<1$ から来る(縮小写像)。一般に $a_{n+1}=p{a}_n+q$($|p|<1$)は $\frac{q}{1-p}$ に収束し、ここでは $\frac{1}{1-1/2}=2$。数直線上を半分ずつ詰めて極限へ近づく様子が、図にそのまま表れている。

別解

別解 — 繰り返し代入して等比の和にする(苦手な人向けの整理ルート)。 特性方程式を使わず、漸化式をそのまま何度も代入してみる。

$a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n+1$ に $a_n=\frac{1}{2}{a}_{n-1}+1$ を入れ、さらに下へ下へと続けると

$$a_n=(\frac{1}{2}{)}^{n-1}{a}_1+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-2}}).$$

$a_1=0$ だから初項の項は消え、かっこの中は等比数列の和。

$$a_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-2}}=2-\frac{1}{2^{n-2}}\underset{n\to \infty }{\to }2.$$

一般項を特性方程式で出す本解と同じ答え。代入を繰り返すと、答えは単なる等比級数の和 $2$ に化ける。特性方程式を思い出せなくても、力ずくで極限にたどり着ける。