数学III / 関数と極限

n乗の和の n乗根の極限

最難関編はさみうち支配項

問題

$a > 0, b > 0$ とする。極限 $n \to \infty lim (a^{n} + b^{n})^{\frac{1}{n}}$ を求めよ。

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$a^{n}$ と $b^{n}$ 、 $n$ が大きいときに和を支配するのはどちらか。支配する項だけで和を上下から見積もると、あとに残る仕事は「 $2^{1/ n}$ がどこへ行くか」だけになる。

解答・解説

方針

n乗の和は大きい方の項が支配する: a≥b とすると aⁿ ≤ aⁿ+bⁿ ≤ 2aⁿ。1/n 乗してはさむと両端が a と a·2^{1/n} になり、2^{1/n}→1 を二項定理で示せば挟み撃ちが完成する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $n$ 乗の世界では、大小の差が爆発的に開く。和 $a^{n} + b^{n}$ は大きい方の項に支配されるはずだ。

$a \geq b$ としてよい( $a < b$ なら記号を替えるだけ)。支配項ではさむと $a^{n} \leq a^{n} + b^{n} \leq 2 a^{n}$ で、 $\frac{1}{n}$ 乗すれば両端は $a$ と $a \cdot 2^{1/ n}$ 。

残る仕事は $2^{1/ n} \to 1$ の一点だけ。これは二項定理の評価で片づく。

重要支配項ではさむ:

a \geq b > 0

なら

a^{n} \leq a^{n} + b^{n} \leq 2 a^{n}

。

2^{1/ n} \to 1

は

h_{n} = 2^{1/ n} - 1

とおいて二項定理で

① 支配項ではさむ。 $a \geq b$ とすると $b^{n} \leq a^{n}$ だから

$a^{n} \leq a^{n} + b^{n} \leq 2 a^{n} ⟹ a \leq (a^{n} + b^{n})^{\frac{1}{n}} \leq a \cdot 2^{\frac{1}{n}}$

② $2^{1/ n} \to 1$ を示す。 $h_{n} = 2^{1/ n} - 1 > 0$ とおくと $2 = (1 + h_{n})^{n} \geq 1 + n h_{n}$ (二項定理の最初の2項)より

$0 < h_{n} \leq \frac{1}{n} ⟶ 0$

よって $2^{1/ n} = 1 + h_{n} \to 1$ 。

③ はさみうちで結論。 両端がともに $a$ に収束するから

$n \to \infty lim (a^{n} + b^{n})^{\frac{1}{n}} = a = max (a, b)$

( $a < b$ の場合は役割を入れ替えて $b$ 。 $a = b$ のときも ①の形から $a \cdot 2^{1/ n} \to a$ で同じ。)

まとめ: 「和は最大項が支配する」— その一言をはさみうちで定量化するのが本問。答えに $max$ が現れる極限の代表格で、項が3つ以上( $a^{n} + b^{n} + c^{n}$ など)でも係数が $2$ から項数に変わるだけで同じ論法が通る。

発展 — 一歩先へ。 項を増やしても $(a_{1}^{n} + \dots + a_{k}^{n})^{1/ n} \to max (a_{1}, \dots, a_{k})$ (係数が $2$ から $k$ に変わるだけ)。「 $n$ 乗和の $n$ 乗根は最大値を取り出す装置」— この事実は、距離や誤差の測り方を $p$ 乗和で定める世界(いわゆる $L^{p}$ ノルム)で「 $p \to \infty$ の極限が最大値ノルム」という基本定理になっている。

答

$max (a, b)$ ( $a, b$ の大きい方)

別解

対数で「支配」を式にする(数III らしい第2の道)。 対数を取ると、支配の構造が足し算に開かれる。 $a \geq b$ として

$lo g (a^{n} + b^{n})^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} lo g (a^{n} (1 + (\frac{b}{a})^{n})) = lo g a + \frac{1}{n} lo g (1 + (\frac{b}{a})^{n})$

ここで $0 < (\frac{b}{a})^{n} \leq 1$ だから

$0 \leq \frac{1}{n} lo g (1 + (\frac{b}{a})^{n}) \leq \frac{lo g 2}{n} ⟶ 0$

よって対数は $lo g a$ に収束し、指数関数の連続性から与式は $a = max (a, b)$ に収束する。

はさみうち(本解)は素朴で強く、対数ルートは「大きい方をくくり出すと、残りは $1 + (比)^{n}$ で御しやすい」という支配項くくり出しの型がそのまま見える。 $n$ 乗の比較はまず比を作る — この癖は数IIIの至る所で効く。

ポイント

$a^{n} \leq a^{n} + b^{n} \leq 2 a^{n}$ ( $a \geq b$ )。
$2^{1/ n} \to 1$ (二項定理で $h_{n} \leq \frac{1}{n}$ )。
はさみうちで $max (a, b)$ 。

よくある間違い

$2^{1/ n} \to 1$ を「明らか」で済ませる。二項定理の評価( $h_{n} \leq \frac{1}{n}$ )か対数か、道具を明示して示す。
$a = b$ の場合を別扱いし忘れて不安になる(実ははさみの式がそのまま通る。確認の一言を添える)。
はさむ不等式の向きを混乱する( $b^{n} \leq a^{n}$ を使うのは上からの $2 a^{n}$ 側)。