分数関数のグラフ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 漸近線とは、グラフが限りなく近づくが、決して触れない直線のことだ。

この関数の形を見る。

$$y=\frac{1}{x-2}+3$$

基本の双曲線 $y=\frac{1}{x}$ に、何が起きているか。

• $x$ が $x-2$ に化けた → 右へ $2$ 平行移動
• $+3$ がついた → 上へ $3$ 平行移動

$y=\frac{1}{x}$ の漸近線は $x=0$ と $y=0$($x$ 軸と $y$ 軸)だった。

グラフごと動かしたのだから、漸近線も同じだけ動く。

$$x=0\to x=2,y=0\to y=3$$

「複雑な式を、基本形 $+$ 平行移動に分解する」 — $2$ 次関数の頂点を求めたときと、まったく同じ発想だ。

$y=\frac{1}{x-2}+3$ は、基本形 $y=\frac{1}{x}$(漸近線 $x=0$、$y=0$)を右へ $2$、上へ $3$ 動かしたもの。漸近線も同じだけ動く。

$$\text{縦の漸近線}:x=2,\text{横の漸近線}:y=3$$

まとめ:分数関数は「基本の双曲線を平行移動したもの」とみる。$x-2$ は右に $2$、$+3$ は上に $3$。漸近線は分母が $0$ になる $x=2$ と、動かした先の $y=3$ だ。

発展 — 一歩先へ。 「漸近線には触れない」— これは、いつでも正しいだろうか。

実は、正しくない。

次の関数を見てほしい。

$$y=\frac{\sin x}{x}$$

$x\to \infty$ のとき、分母が無限に大きくなるので $y\to 0$。 横の漸近線は $y=0$($x$ 軸)である。

だが、このグラフは $x$ 軸と何度も交わる。

$$\sin x=0⟹x=\pi ,2\pi ,3\pi ,\dots$$

$x$ 軸を無限回、横切りながら、それでも $x$ 軸に近づいていく。

波打ちながら、振幅がどんどん小さくなる。 グラフを描くと、$x$ 軸を軸にして波が減衰していく形になる。

「漸近線に触れない」は、双曲線でたまたま成り立っていただけだった。

漸近線の正しい定義は「触れない直線」ではない。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left\{f(x)-(\text{直線})\right\}=0$$

無限の彼方で、差が $0$ に近づく直線である。途中で何回交わろうと、構わない。

この誤解は、教科書の例が双曲線ばかりであることから生まれる。

「よく見る例で成り立つ性質」を「定義」と取り違えない。 数学では、これが決定的に大事だ。

もう $1$ つ、面白い漸近線がある。

$$y=x+\frac{1}{x}$$

$x\to \infty$ で $\frac{1}{x}\to 0$ だから、$y$ は $y=x$ に近づく。

漸近線が、斜めの直線だ(斜め漸近線)。

縦・横だけが漸近線ではない。 「無限の彼方で差が $0$ になる直線」なら、傾いていても漸近線である。

定義に立ち返れば、視野が広がる。 覚えた形だけで判断すると、こういう関数の前で立ち止まってしまう。

別解

「平行移動」で覚えず、極限で確かめる。

漸近線の定義に、正面から戻る別解である。

漸近線とは何か。

• 縦の漸近線: そこに近づくと、$y$ が $\pm \infty$ に飛ぶ直線
• 横の漸近線: $x$ を無限に飛ばしたとき、$y$ が近づく値

この定義を、そのまま計算する。

① 縦の漸近線を探す。

$y$ が爆発するのは、分母が $0$ になるところだ。

$$x-2=0⟹x=2$$

本当に飛ぶか、確かめよう。

$x=2.001$ を入れると

$$y=\frac{1}{0.001}+3=1003$$

$x=2.0000001$ なら

$$y=\frac{1}{0.0000001}+3=10000003$$

右から $2$ に近づけると、$y$ は $+\infty$ へ。

左から近づけると? $x=1.999$ なら

$$y=\frac{1}{-0.001}+3=-997$$

$-\infty$ へ。

$$\underset{x\to 2+0}{\lim }y=+\infty ,\underset{x\to 2-0}{\lim }y=-\infty$$

$x=2$ が縦の漸近線 ✓

② 横の漸近線を探す。

$x$ を無限に飛ばす。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{x-2}+3\right)=0+3=3$$

$\frac{1}{x-2}$ の分母が無限に大きくなるので、この項は $0$ に消える。 残るのは $3$ だけ。

$x\to -\infty$ でも同じだ。

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{1}{x-2}+3\right)=0+3=3$$

$y=3$ が横の漸近線 ✓

この方法の価値。

平行移動で覚えていると、$y=\frac{2x+1}{x-3}$ のような"分解されていない形"で手が止まる。

極限で攻めれば、どんな形でも同じ手順で漸近線が出る。

• 分母 $=0$ になる $x$ → 縦の漸近線の候補
• $x\to \pm \infty$ の極限値 → 横の漸近線

そして、この方法は「漸近線に触れない理由」も教えてくれる。

$$\frac{1}{x-2}\ne 0(\text{どんな x でも})$$

$\frac{1}{x-2}$ は $0$ に限りなく近づくが、決して $0$ にならない。 だから $y$ も $3$ に近づくだけで、$3$ ちょうどにはならない。

「近づくが、届かない」 — 極限という考え方そのものが、この $1$ 本の直線に表れている。