中間値の定理

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「解を求めよ」ではなく「解があることを示せ」— 存在証明だ。$3$ 次方程式の解の公式を知らなくても、存在だけなら言える。それが中間値の定理の仕事である。

$f(x)=x^3-x-1$ とおく。多項式だから $f$ は連続 — グラフは切れ目なくつながっている。

$$f(1)=-1<0,f(2)=5>0$$

$x=1$ で海面下、$x=2$ で海面上。切れ目なくつながった線が海面下から海面上へ行くには、途中で必ず海面($y=0$)を横切る — その横切る場所が解だ。

① 関数をおき、連続性を確認する。 $f(x)=x^3-x-1$。多項式なので連続。

② 両端の符号を調べる。

$$f(1)=1-1-1=-1<0$$

$$f(2)=8-2-1=5>0$$

③ 中間値の定理を適用する。 $f(1)<0<f(2)$ で符号が反対。$f$ は連続なので、中間値の定理より $f(c)=0$ となる $c$ が $1<c<2$ に少なくとも $1$ つ存在する。

よって方程式 $x^3-x-1=0$ は $1<x<2$ に実数解をもつ。

まとめ:中間値の定理は「連続なグラフが負から正へ移るなら、途中で必ず $0$ を通る」という当たり前を保証する定理。使い方は「連続を確認 → 両端の符号が反対を示す」の $2$ 点。解を具体的に求めなくても、存在だけは言える。

発展 — 一歩先へ。 「連続」の仮定はどこまで本質か — 反例で確かめると定理の輪郭が見える。$f(x)=\frac{1}{x}$ は $f(-1)=-1<0$、$f(1)=1>0$ だが、間に解はない($x=0$ で不連続に飛んでいる)。符号の変化だけでは足りず、「切れ目なく」が効いていた。

この解 $x=1.3247\dots$ は「プラスチック数」と呼ばれ、$x^3=x+1$ を満たす特別な定数(黄金比 $x^2=x+1$ の $3$ 次版)。存在証明 → 二分法 → 特別な定数、と $1$ 問の裏に数学の層が重なっている。

別解

中間値の定理は「あるかないか」しか教えない — が、同じ発想を繰り返すと、解の居場所をどこまでも絞り込める。

区間 $(1,2)$ の真ん中 $x=1.5$ で値を見る。

$$f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0$$

$f(1)<0<f(1.5)$ だから、解は前半分 $(1,1.5)$ にいる。もう一度真ん中で

$$f(1.25)=-0.296\dots <0$$

今度は $f(1.25)<0<f(1.5)$ — 解は $(1.25,1.5)$ に。$1$ 回の計算ごとに、解の居場所の幅が半分になる。

$10$ 回繰り返せば幅は約 $\frac{1}{1000}$、$20$ 回で $100$ 万分の $1$。この「二分法」は、コンピュータが方程式を解く最も基本的なアルゴリズムで、中間値の定理はその正しさの保証書だ(実際の解は $x=1.3247\dots$)。

存在定理は抽象的に見えて、実は「計算で解を捕まえる手続き」の心臓部になっている。