三角関数の極限(tan-sin)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x\to 0$ で分子・分母とも $0$ に近づく $\frac{0}{0}$ 型。

まず $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ に直し、分子を $\sin x$ でくくると $\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}$ になる。

すると $\frac{\sin x}{x}\to 1$ と $\frac{1-\cos x}{x^2}\to \frac{1}{2}$ という $2$ つの基本極限が、両方とも顔を出す。

複雑な形を、既知の基本極限の積に分解する。これがこの問題の核になる。

① $\sin x$ でくくる。

$$\tan x-\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}$$

② $x^3$ で割り、既知の極限の形に分ける。

$$\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1-\cos x}{x^2}\cdot \frac{1}{\cos x}$$

③ 極限をとる。 $\frac{\sin x}{x}\to 1$、$\frac{1-\cos x}{x^2}\to \frac{1}{2}$、$\cos x\to 1$。

$$\underset{x\to 0}{\lim }=1\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{1}=\frac{1}{2}$$

まとめ:複雑な三角関数の極限は「既知の基本極限の積に分解」がカギ。$\frac{\sin x}{x}$ と $\frac{1-\cos x}{x^2}$ を作れる形に整理する。$x^3$ の次数も、$x^1$(sin から)+ $x^2$(1-cos から)でぴったり合う。

発展 — 一歩先へ。 答え $\frac{1}{2}$ は、$0$ の近くの近似から見通せる。$\tan x\approx x+\frac{x^3}{3}$、$\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$ と、$3$ 次まで取ると精度がよい。

差をとると $1$ 次の $x$ は消え、$\tan x-\sin x\approx \frac{x^3}{3}+\frac{x^3}{6}=\frac{x^3}{2}$。これを $x^3$ で割れば $\frac{1}{2}$。

$\tan$ も $\sin$ も $0$ の近くでは $x$ にそっくりだが、$3$ 次の項がわずかに違う。その差が $x^3$ の速さで現れる。この「主要な項だけ残す」見方はテイラー展開につながり、極限計算の裏側を照らす。

別解

別解 — 基本極限を $\frac{\sin x}{x}\to 1$ の $1$ つだけで済ませる(得意な人向けの視点)。 $1-\cos x$ を $\sin$ に書きかえると、使う基本極限を $1$ つに減らせる。

$1-\cos x=\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{1+\cos x}=\frac{{\sin }^{2}x}{1+\cos x}$ を使う。すると

$$\tan x-\sin x=\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{{\sin }^{2}x}{1+\cos x}=\frac{{\sin }^{3}x}{\cos x(1+\cos x)}.$$

したがって

$$\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=(\frac{\sin x}{x}{)}^3\cdot \frac{1}{\cos x(1+\cos x)}\to 1^3\cdot \frac{1}{1\cdot (1+1)}=\frac{1}{2}.$$

$\frac{1-\cos x}{x^2}\to \frac{1}{2}$ を使う本解と同じ答え。$1-\cos x$ を ${\sin }^{2}x$ に化かすと、すべてが $\frac{\sin x}{x}$ の形にそろい、覚える基本極限が $1$ つで足りる。