無限等比級数の収束条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sum x(1-x{)}^n$ は、初項 $x$($n=0$ の項)、公比 $1-x$ の無限等比級数とみる。

無限等比級数が収束するのは「公比の絶対値が $1$ 未満」($|1-x|<1$)、または「初項が $0$」のとき。

まず $|1-x|<1$ を解いて、収束する $x$ の範囲を求める。

その範囲で、和 $\frac{\text{初項}}{1-\text{公比}}$ を計算する、と見通す。

① 収束条件。 公比は $1-x$。$|1-x|<1$ を解くと

$$-1<1-x<1⟹0<x<2$$

(初項 $x=0$ のときは各項が $0$ で和 $0$。収束はするが以下では和 $1$ を出すため $0<x<2$ を主とする。)

② 和を求める。 $0<x<2$ のとき、初項 $x$、公比 $1-x$ より

$$\sum _{n=0}^{\infty }x(1-x{)}^n=\frac{x}{1-(1-x)}=\frac{x}{x}=1$$

まとめ:無限等比級数の収束は「$|r|<1$ または初項 $0$」。ここでは公比 $1-x$ で $|1-x|<1$、すなわち $0<x<2$。和は $\frac{x}{1-(1-x)}=\frac{x}{x}=1$ と、$x$ によらず $1$ になるのが面白い。初項 $=$ 公比の $n=0$ 開始に注意。

発展 — 一歩先へ。 和が $x$ によらず $1$ になるのには意味がある。$0<x\le 1$ のとき、$x(1-x{)}^n$ は「成功確率 $x$ の試行で、$n$ 回失敗してから成功する確率」と読める。

いつか必ず成功するので、その確率を全部足せば $1$。これが「和 $=1$」の正体だ(幾何分布の全確率が $1$)。

$1<x<2$ では公比 $1-x$ が負になり各項の符号が交互に変わるが、等比級数の公式はそのまま成り立ち和は $1$ のまま。確率の話は $0<x\le 1$ に限るが、級数としての等式はより広い範囲へ延びている。

別解

別解 — 部分和を直接計算する(得意な人向けの視点)。 収束条件と和を、部分和 $S_N$ からいっぺんに出せる。

初項 $x$、公比 $1-x$ の等比数列の第 $N$ 項までの和は

$$S_N=x\cdot \frac{1-(1-x{)}^{N+1}}{1-(1-x)}=x\cdot \frac{1-(1-x{)}^{N+1}}{x}=1-(1-x{)}^{N+1}.$$

($x\ne 0$ で約分できる。)これが $N\to \infty$ で収束するのは、$(1-x{)}^{N+1}$ が極限をもつとき。$|1-x|<1$、すなわち $0<x<2$ なら $(1-x{)}^{N+1}\to 0$ で、$S_N\to 1$。

公式 $\frac{a}{1-r}$ に代入する本解と同じ結論。部分和が $1-(1-x{)}^{N+1}$ とわかると、「収束するか」も「和がいくつか」も一目で読める。公式を暗記していなくても、部分和からその場で作れるのが強い。