関数の極限(無限大)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x$ が限りなく大きくなると、$\frac{1}{x}$ はどうなるか。

$1$ を、とてつもなく大きい数で割る。

$$\frac{1}{100}=0.01,\frac{1}{10000}=0.0001,\frac{1}{10^{100}}=\text{ほとんど }0$$

限りなく $0$ に近づく。

だから

$$1-\frac{1}{x}\to 1-0=1$$

この問題に、難所はない。 $\frac{1}{x}\to 0$ を知っていれば、それで終わりだ。

ただし、$1$ つ確認しておきたいことがある。

$\frac{1}{x}$ は $0$ になるのではない。 どんなに $x$ を大きくしても $\frac{1}{x}>0$ で、$0$ より少しだけ大きい。

だから $1-\frac{1}{x}$ は、$1$ より少しだけ小さい。 下から $1$ に近づくのである。

$x$ が限りなく大きくなると $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づく。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{x})=1-0=1$$

まとめ:$\frac{1}{x}$ は「$x$ が大きいほど小さい」ので、$x\to \infty$ で $0$。全体は $1$ に落ち着く。極限の基本感覚だ。

発展 — 一歩先へ。 極限には「バラしてよい計算」と「バラすと嘘になる計算」がある。その境目を、はっきりさせておこう。

バラしてよい場合(極限の性質)。

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\alpha$、$\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\beta$ がともに有限の値として存在するなら

$$\lim \{f(x)\pm g(x)\}=\alpha \pm \beta$$ $$\lim \{f(x)\cdot g(x)\}=\alpha \beta$$ $$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha }{\beta }(\beta \ne 0)$$

「極限が存在するなら、四則演算は自由にバラせる。」

この問題は、まさにこれだ。

$$\lim \left(1-\frac{1}{x}\right)=\lim 1-\lim \frac{1}{x}=1-0=1$$

両方の極限が有限なので、堂々とバラしてよい。

バラすと嘘になる場合(不定形)。

片方が $\infty$ になったり、分母が $0$ になったりすると、上の性質は使えない。

$$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },0\times \infty ,\infty -\infty ,1^{\infty },0^0,{\infty }^0$$

この $7$ つが、代表的な不定形である。

$\infty -\infty$ の恐ろしさを見ておこう。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$$

「$\infty -\infty =0$」としたくなる。だが違う。

有理化する。

$$\sqrt{x^2+x}-x=\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$$

分子・分母を $x$ で割る。

$$=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\to \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$$

答えは $\frac{1}{2}$。 $0$ でも $\infty$ でもない。

同じ $\infty -\infty$ でも、$\sqrt{x^2+x^3}-x$ なら $\infty$ に発散する。

「形が同じでも、答えは違う」 — だから不定形と呼ばれる。

まとめると、極限の作法はこうだ。

① まず代入してみる → 有限の値なら、それが答え

② 不定形になったら → 式を変形する(因数分解・約分・有理化・最高次で割る・はさみうち)

③ 変形して不定形が解消したら → 代入する

「代入 → 不定形なら変形 → 再び代入」

この $3$ ステップが、極限計算のすべての骨格である。

別解

答えは簡単だ。だから、"似て非なる極限"と比べてみる。

この問題の関数は $1-\frac{1}{x}$。極限は $1$ だった。

では、これを $x$ 乗したら?

$${\left(1-\frac{1}{x}\right)}^x$$

中身は $1$ に近づく。 そして「$1$ を何乗しても $1$」だから、答えも $1$ — と言いたくなる。

確かめよう。数値を入れる。

$$x=10:(0.9{)}^{10}=0.3487$$ $$x=100:(0.99{)}^{100}=0.3660$$ $$x=10000:(0.9999{)}^{10000}=0.3679$$

$1$ ではない! $0.3679$ に近づいている。

この数の正体は

$$\frac{1}{e}=0.36787944\dots$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{x}\right)}^x=\frac{1}{e}$$

なぜ、こんなことが起こるのか。

$2$ つの効果が、綱引きしているからだ。

• 底 $\left(1-\frac{1}{x}\right)$ は $1$ に近づく → $1$ に押し上げる力
• 指数 $x$ は $\infty$ に飛ぶ → $0$ に押し下げる力($1$ より小さい数を無限回掛けるから)

この綱引きが、$\frac{1}{e}$ という中途半端な値で釣り合う。

「$1^{\infty }$」は不定形なのだ。

$\frac{0}{0}$ や $\frac{\infty }{\infty }$ と同じく、形だけでは答えが決まらない。

兄弟の式も見ておこう。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e=2.71828\dots$$

符号が $+$ になっただけで、答えは $e$。 ネイピア数の定義そのものである。

これは複利計算から生まれた。 年利 $100\%$ を $x$ 回に分けて複利で運用すると

$${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$$

$1$ 年で $2$ 倍(年 $1$ 回)、$2.25$ 倍(半年ごと)、$2.61$ 倍(月ごと)$\dots$ そして無限に細かく分けると $e$ 倍で頭打ちになる。

この問題からの教訓。

「中身の極限が $1$ だから、全体も $1$」という推論は、危険である。

$$\lim (\text{底})=1,\lim (\text{指数})=\infty ⟹\text{不定形}$$

極限は、部分ごとにバラして考えてよい場合と、そうでない場合がある。

• 和・差・積・商(分母が $0$ でない)→ バラしてよい
• $\frac{0}{0}$、$\frac{\infty }{\infty }$、$0\times \infty$、$\infty -\infty$、$1^{\infty }$ → 不定形。バラすと嘘になる

「$1-\frac{1}{x}\to 1$」という当たり前の極限のすぐ隣に、$e$ という深い数が潜んでいる。

簡単な問題ほど、その"隣"を覗いてみる価値がある。