極限で定義された関数の連続性

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 この $f$ は「$x$ を止めるごとに $n\to \infty$ の極限をとる」関数だ。$x^{2n}$ の行き先は

$$|x|<1:0,|x|=1:1,|x|>1:\infty$$

の三態。だから、まず場合分けで極限関数の正体を暴く。

出てくるのは区間ごとに別の式のつぎはぎ関数だ。内側では直線 $ax+b$、外側では $y=x$、つなぎ目 $x=\pm 1$ では分子分母がともに残って「平均」の値をとる。連続になる条件は、つなぎ目で左右の極限と値の3つが一致することに尽きる。

① 極限関数を求める((1))。

• $|x|<1$: $x^{2n}\to 0,x^{2n+1}\to 0$ だから $f(x)=\frac{0+ax+b}{0+1}=ax+b$
• $|x|>1$: 分子分母を $x^{2n}$ で割ると $f(x)=\frac{x+\frac{ax+b}{x^{2n}}}{1+\frac{1}{x^{2n}}}\to \frac{x+0}{1+0}=x$
• $x=1$: $f(1)=\frac{1+a+b}{2}$、$x=-1$: $x^{2n}=1,x^{2n+1}=-1$ より $f(-1)=\frac{-1-a+b}{2}$

② つなぎ目 $x=1$ の条件。 左から($|x|<1$ 側)の極限は $a+b$、右からの極限は $1$。値は $\frac{1+a+b}{2}$。3つが一致する条件は

$$a+b=1(\text{このとき値も}\frac{1+1}{2}=1\text{で一致})$$

③ つなぎ目 $x=-1$ の条件と結論。 左から($|x|>1$ 側)は $-1$、右からは $-a+b$、値は $\frac{-1-a+b}{2}$。一致する条件は $-a+b=-1$。②と連立して

$$a=1,b=0$$

このとき $f(x)$ は $|x|<1$ でも $ax+b=x$ となり、すべての $x$ で $f(x)=x$ — たしかに連続である。

まとめ: 極限で定義された関数は「先に $n\to \infty$ を済ませて正体を暴く」— 三態の場合分け → つぎはぎのつなぎ目で連続条件、の2段。つなぎ目で値が左右の「平均」になるのは分子分母に両者が対等に残るからで、この現象ごと理解しておきたい型だ。

発展 — 一歩先へ。 各 $n$ の関数 $\frac{x^{2n+1}+ax+b}{x^{2n}+1}$ はどれも連続なのに、極限を取ると($a=1,b=0$ 以外では)不連続になる — 「連続関数の極限は連続とは限らない」ことの代表例だ。つなぎ目で値が左右の平均になる現象も含め、収束の「質」(各点か一様か)を問う大学数学(解析学)の入り口がここにある。

別解

割り算で分解してから極限を取る(場合分けが1本の式にまとまる)。 分子を分母で1回割っておくと、構造が先に見える:

$$x^{2n+1}+ax+b=x\left(x^{2n}+1\right)+(a-1)x+b$$

だから、極限を取る前の関数そのものが

$$\frac{x^{2n+1}+ax+b}{x^{2n}+1}=x+\frac{(a-1)x+b}{x^{2n}+1}$$

と、「y=x +補正項」の形に分解される。あとは補正項の分母 $x^{2n}+1$ の極限(三態)だけを見ればよい:

• $|x|<1$: 分母 $\to 1$ で補正は $(a-1)x+b$ がそのまま残る → $f(x)=x+(a-1)x+b=ax+b$
• $|x|>1$: 分母 $\to \infty$ で補正は消える → $f(x)=x$
• $x=\pm 1$: 分母 $=2$ で補正は半分 → 平均の値

連続になる条件も一目だ。補正項の「生き残り方」が場所で違うことが不連続の原因だから、補正の分子 $(a-1)x+b$ が $x=\pm 1$ で $0$ になればつなぎ目が消える: $(a-1)+b=0$ かつ $-(a-1)+b=0$、すなわち $a=1,b=0$。このとき補正は恒等的に $0$ で、$f(x)=x$。

場合分けの前の「1回の割り算」が、(1)(2)を丸ごと透明にする。分数関数はまず帯分数化 — 数IIIの整理術の代表だ。