三角関数の極限

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x=0$ を代入すると $\frac{\sin 0}{0}=\frac{0}{0}$ — また不定形だ。

だが今度は、因数分解も約分もできない。 $\sin x$ は多項式ではないからだ。

そこで、この極限は「基本の道具」として与えられる。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

丸暗記ではなく、意味を掴んでほしい。

$x$ が小さいとき、$\sin x\approx x$ ということだ。

実際に数を入れてみよう($x$ は弧度法)。

$$\sin (0.1)=0.09983\dots \sin (0.01)=0.0099998\dots$$

$x$ と、ほとんど同じ値になっている。

単位円で言えば、小さい角では、弧の長さと、それに対する縦の高さがほぼ等しいということ。

この $1$ つの極限が、三角関数の微分のすべての土台になる。

これは公式として与えられている基本極限。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

$x\to 0$ のとき $\sin x$ と $x$ はほぼ同じ大きさになる(グラフでも $y=\sin x$ と $y=x$ は原点付近でほぼ重なる)。

まとめ:$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ は三角関数の極限の心臓部。$\frac{0}{0}$ の形だが、値は $1$。角は必ず弧度法で測ること(度数法だと成り立たない)。この形に持ち込むのが多くの問題の目標になる。

発展 — 一歩先へ。 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ は、なぜ「基本極限」として特別扱いされるのか。

それは、三角関数の微分が、この $1$ 行から生まれるからだ。

$\sin x$ を、定義に従って微分してみよう。

$$(\sin x{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$$

加法定理で展開する。

$$\sin (x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h$$

$$\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}=\sin x\cdot \frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot \frac{\sin h}{h}$$

$2$ つの極限が出てきた。

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=1\text{(この問題の結果)}$$

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos h-1}{h}=0\text{(これも }\frac{\sin h}{h}\text{ から導ける)}$$

代入すると

$$(\sin x{)}^{\prime }=\sin x\cdot 0+\cos x\cdot 1=\cos x$$

$$\boxed{(\sin x{)}^{\prime }=\cos x}$$

この有名な公式の根拠が、$\frac{\sin x}{x}\to 1$ だったのだ。

もしこの極限が $1$ でなかったら(たとえば度数法なら $\frac{\pi }{180}$)、微分の公式はこうなる。

$$(\sin x^{\circ }{)}^{\prime }=\frac{\pi }{180}\cos x^{\circ }$$

毎回、$\frac{\pi }{180}$ という汚い係数がついてまわる。 積分でも、微分方程式でも、波の方程式でも、この係数が式を汚し続ける。

弧度法を使うと、それが消える。

「$\sin x\approx x$($x$ が小さいとき)」という近似も、ここから来ている。

この近似は、物理学でとてつもなく重要だ。

振り子の運動方程式は、本来こうだ。

$$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{g}{L}\sin \theta$$

この方程式は、初等的には解けない。

だが、振れ角が小さいとき $\sin \theta \approx \theta$ と近似すると

$$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{g}{L}\theta$$

単振動の方程式になり、きれいに解ける。 振り子の周期 $T=2\pi \sqrt{L/g}$ が出てくるのは、この近似のおかげである。

時計が正確に時を刻めるのも、$\sin x\approx x$ という近似が成り立つからだ。

たった $1$ 行の極限が、微分公式を生み、時計を動かしている。

別解

「なぜ $1$ になるのか」を、面積の比較で証明する。

公式として与えられているが、その根拠を知っておくと忘れない。

単位円(半径 $1$)を考える。 中心 $\mathrm{O}$、$x$ 軸上に点 $\mathrm{A}(1,0)$ をとり、角 $x$($0<x<\frac{\pi }{2}$)の位置に点 $\mathrm{P}$ をとる。

$3$ つの図形の面積を比べる。

① 三角形 $\mathrm{OAP}$

底辺 $\mathrm{OA}=1$、高さは $\mathrm{P}$ の $y$ 座標 $=\sin x$。

$$S_1=\frac{1}{2}\sin x$$

② 扇形 $\mathrm{OAP}$(中心角 $x$、半径 $1$)

$$S_2=\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot x=\frac{x}{2}$$

③ 三角形 $\mathrm{OAT}$($\mathrm{A}$ での接線と、直線 $\mathrm{OP}$ の交点を $\mathrm{T}$ とする)

底辺 $\mathrm{OA}=1$、高さは $\mathrm{AT}=\tan x$。

$$S_3=\frac{1}{2}\tan x$$

この $3$ つは、明らかに「小さい順に入れ子」になっている。

三角形 $\mathrm{OAP}$ は扇形にすっぽり含まれ、扇形は三角形 $\mathrm{OAT}$ に含まれる。

$$\frac{1}{2}\sin x<\frac{x}{2}<\frac{1}{2}\tan x$$

各辺を $2$ 倍する。

$$\sin x<x<\tan x$$

各辺を $\sin x(>0)$ で割る。

$$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$$

逆数をとる(正の数なので、不等号は反転する)。

$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$$

はさみうちの完成だ。

$x\to 0$ のとき、左端は

$$\cos x\to \cos 0=1$$

右端は、ずっと $1$。

両端が $1$ に向かうのだから、間に挟まれたものも $1$ に行くしかない。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1■$$

証明できた ✓

そして、この証明には隠れた前提がある。

扇形の面積を $\frac{1}{2}x$ と書いた — これは弧度法だから成り立つ式だ。

もし度数法($x$ を「度」で測る)なら、どうなるか。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x^{\circ }}{x}=\frac{\pi }{180}\approx 0.01745$$

$1$ にならない!

「$\sin x/x\to 1$」という美しい式は、弧度法という単位を選んだご褒美なのだ。

弧度法が「自然な」角度の測り方と呼ばれる理由が、ここにある。 数学IIIで角度をラジアンで測るのは、こだわりでも意地悪でもなく、この $1$ 行を成り立たせるためである。