図形と無限等比級数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず図で、隣り合う正方形の面積の比を確かめる。

各辺の中点を結んでできる正方形は、もとの正方形のちょうど半分の面積になる。

つまり面積は毎回 $\frac{1}{2}$ 倍。面積の列は初項 $1$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列だ。

図形の縮小の繰り返しを、公比を見つけて無限等比級数に翻訳する。これが主題になる。

① 面積比を求める。 $1$ 辺 $1$ の正方形の各辺の中点を結ぶと、新しい正方形の $1$ 辺は $\frac{1}{\sqrt{2}}$(対角線の半分の関係)。面積は ${\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{1}{2}$ 倍になる。

② 面積の列を書く。 $S_1,S_2,S_3,\dots$ の面積は

$$1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\cdots$$

初項 $a=1$、公比 $r=\frac{1}{2}$ の無限等比級数。

③ 和を求める。

$$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{1}{2}{)}^{n-1}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$$

まとめ:図形をどんどん小さく作る問題は「$1$ ステップの縮小率」を見抜くのが第一歩。ここは面積が毎回 $\frac{1}{2}$ 倍なので、面積の総和は初項 $1$・公比 $\frac{1}{2}$ の等比級数。無限に作っても総和は $2$ に収まる。

発展 — 一歩先へ。 $1$ 辺の比は $\frac{1}{\sqrt{2}}$。正方形は毎回 $45^{\circ }$ 傾きながら $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍に縮み、共通の中心へ渦を巻くように収束していく。

面積の比 $\frac{1}{2}$ は、この辺の比 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の $2$ 乗にあたる。周の長さは公比 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の等比級数になり、$\frac{4}{1-1/\sqrt{2}}$ に収束する。長さの和も、ちゃんと有限だ。

一般に、$1$ ステップで面積が $r$ 倍($0<r<1$)に縮む自己相似な図形なら、総面積は $\frac{S_1}{1-r}$。縮小率さえ読めれば、無限に作っても総和は有限に収まる。

別解

別解 — 全体を「自分の半分」で表す(苦手な人向けの視点)。 総和 $T=S_1+S_2+S_3+\cdots$ を、公式を使わずに求めてみる。

いちばん外の $S_1$ を除いた残り $S_2+S_3+\cdots$ に注目する。これは、もとの図全体をそっくり $\frac{1}{2}$ に縮めたもの。だから残りの面積は $\frac{1}{2}T$。

すると

$$T=S_1+\frac{1}{2}T=1+\frac{1}{2}T.$$

$T-\frac{1}{2}T=1$ より $\frac{1}{2}T=1$、すなわち $T=2$。無限等比級数の公式 $\frac{a}{1-r}$ を使う本解と同じ答え。「全体が自分自身の縮小コピーを含む」という自己相似の見方で、方程式を $1$ つ解くだけで総和が出る。