1−cos の極限(半角と sinx/x)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $1-\cos \frac{\pi }{n}$ は $n\to \infty$ で $0$ に近づき、$n^2$ は $\infty$。$0\times \infty$ の不定形だ。

$1-\cos$ をそのまま扱うより、半角の公式 $1-\cos \theta =2{\sin }^2\frac{\theta }{2}$ で $\sin$ に直す。

すると $n^2\cdot 2{\sin }^2\frac{\pi }{2n}$。$\frac{\sin x}{x}\to 1$ が使えるよう、$\sin \frac{\pi }{2n}$ を「角で割る」形にそろえれば極限が出る。

① 半角で直す。 $$n^2\left(1-\cos \frac{\pi }{n}\right)=n^2\cdot 2{\sin }^2\frac{\pi }{2n}=2n^2{\sin }^2\frac{\pi }{2n}.$$ ② $\frac{\sin x}{x}$ の形に。 $x=\frac{\pi }{2n}$ とおくと $n=\frac{\pi }{2x}$、$n^2=\frac{{\pi }^2}{4x^2}$。よって $$2n^2{\sin }^2\frac{\pi }{2n}=2\cdot \frac{{\pi }^2}{4x^2}{\sin }^{2}x=\frac{{\pi }^2}{2}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2.$$ ③ 極限。 $n\to \infty$ で $x=\frac{\pi }{2n}\to 0$、$\frac{\sin x}{x}\to 1$ だから $$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\left(1-\cos \frac{\pi }{n}\right)=\frac{{\pi }^2}{2}\cdot 1^2=\frac{{\pi }^2}{2}.$$

まとめ $1-\cos$ は半角で ${\sin }^2$ に直し、$\frac{\sin x}{x}\to 1$ に帰着。答えは $\frac{{\pi }^2}{2}$。三角と極限の融合。

発展 — 一歩先へ。 一般に $n^2\left(1-\cos \frac{a}{n}\right)\to \frac{a^2}{2}$。近似 $1-\cos \theta \sim \frac{{\theta }^2}{2}$ は、振り子の周期(小さい角では単振動)や、光の回折の計算など、物理のいたるところで「小さい角の $\cos$ を放物線で置き換える」場面に登場する。

別解

別解 — テイラー展開(近似式)で見抜く(得意な人向けの高い視点)。 $\theta$ が $0$ に近いとき、$\cos \theta$ は

$$\cos \theta =1-\frac{{\theta }^2}{2}+\frac{{\theta }^4}{24}-\cdots$$

と展開できる。だから $1-\cos \theta =\frac{{\theta }^2}{2}-\frac{{\theta }^4}{24}+\cdots$、主要項は $\frac{{\theta }^2}{2}$。

$\theta =\frac{\pi }{n}$ を入れると $1-\cos \frac{\pi }{n}\approx \frac{1}{2}\cdot \frac{{\pi }^2}{n^2}$。$n^2$ を掛ければ

$$n^2\left(1-\cos \frac{\pi }{n}\right)\approx n^2\cdot \frac{{\pi }^2}{2n^2}=\frac{{\pi }^2}{2}.$$

高次の項(${\theta }^4$ 以降)は $n^2$ を掛けても $0$ に消えるから、極限は $\frac{{\pi }^2}{2}$。

半角公式(本解)は高校の範囲で厳密に、テイラー展開は「主要項だけ見る」感覚で速く。$1-\cos \theta \sim \frac{{\theta }^2}{2}$ という近似は、極限計算の頼れる相棒だ。