微分法の計算 — 積・商・合成関数の微分

関数 $y=(x^2+1)(x-3)$ を微分せよ。

関数 $y=\frac{x}{x+1}$ を微分せよ。

関数 $y=(2x+1{)}^3$ を微分せよ。

関数 $y=\sin 2x$ を微分せよ。

関数 $y=\cos x$ を微分せよ。また $y=\cos 3x$ も微分せよ。

関数 $y=e^{2x}$ を微分せよ。

関数 $y=\log x$ を微分せよ。($\log$ は自然対数)

関数 $y=\tan x$ を微分せよ。

関数 $y=e^{x^2}$ を微分せよ。

関数 $y=\log (2x+1)$ を微分せよ。

関数 $y=\sqrt{x}$ を微分せよ。

関数 $y={\sin }^{3}x$ を微分せよ。

関数 $y=x^2\sin x$ を微分せよ。

関数 $y=\frac{\sin x}{x}$ を微分せよ。

関数 $y=\sin (x^2)$ を微分せよ。

関数 $y=x^x$($x>0$)を微分せよ。

関数 $y=\log (x^2+1)$ を微分せよ。

関数 $y=2^x$ を微分せよ。

関数 $y=e^{2x}$ の第 $2$ 次導関数 $y^{\prime \prime }$ を求めよ。

$x=t^2$、$y=t^3$($t>0$)で表される曲線について、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の式で表せ。

関数 $y=\sqrt{x^2+1}$ を微分せよ。

関数 $y=\tan 2x$ を微分せよ。

関数 $y={\log }_{3}x$ を微分せよ。

関数 $y=e^x\cos x$ を微分せよ。

関数 $y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$($x>1$)を微分せよ。

関数 $y=\sin x$ について、第 $2$ 次導関数 $y^{\prime \prime }$ を求めよ。また、微分をくり返すと導関数がどう循環するかを述べよ。

$x=\cos t$、$y=\sin t$($0<t<\pi$)で表される曲線について、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の式で表せ。

円 $x^2+y^2=1$ 上で、$y$ を $x$ の関数とみて $\frac{dy}{dx}$ を求めよ($y\ne 0$)。

関数 $y=e^{\sin x}$ を微分せよ。

関数 $y=x{e}^x$ の第 $2$ 次導関数 $y^{\prime \prime }$ を求めよ。

関数 $y=x^{\sin x}$($x>0$)を微分せよ。

関数 $y=x^3+x$ について、逆関数の微分 $\frac{dx}{dy}$ を $x$ の式で表せ。また $x=1$ に対応する点での $\frac{dx}{dy}$ の値を求めよ。

$y=\log (\sin x^2)$ を微分せよ。

$y=x^{\log x}$($x>0$)を微分せよ(ここで $\log x$ は自然対数)。

$y=\frac{2x+1}{x^2+1}$ を微分せよ。

媒介変数 $t$ で $x=t^2$、$y=t^3-t$ と表される曲線について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ を $t$ で表せ($t\ne 0$)。

曲線 $x^2+xy+y^2=7$ 上の点 $(1,2)$ における接線の傾き $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

$y=\frac{1}{x+1}$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求めよ。

関数 $f(x)=x+e^x$ は逆関数 $f^{-1}$ をもつ。$(f^{-1}{)}^{\prime }(1)$ の値を求めよ。

$y=x{e}^{2x}$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求めよ。

$y=e^x\sin x$ について、$n$ 階導関数が $y^{(n)}=2^{n/2}{e}^x\sin \left(x+\frac{n\pi }{4}\right)$ で与えられることを示せ。

$y=x^2{e}^x$ の $n$ 階導関数が $y^{(n)}=e^x\{x^2+2nx+n(n-1)\}$ で与えられることを示せ($n\ge 0$)。

$x>0$ のとき、$y=x^x$ の導関数を求めよ。

$x={\cos }^{3}t,y={\sin }^{3}t$($0<t<\frac{\pi }{2}$)で表される曲線について、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ で表せ。

曲線 $x^3+y^3=3xy$ 上の点 $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ における接線の傾きを求めよ。

関数 $y=x+e^x$ の逆関数を $x=g(y)$ とする。$g^{\prime }(1)$ の値を求めよ。

$y=\frac{1}{1-x}$($x\ne 1$)の $n$ 階導関数が $y^{(n)}=\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}$ で与えられることを示せ。

$x>0$ のとき、$y=\sqrt{\frac{x(x+1)}{x+2}}$ の導関数を求めよ。

関数 $f$ を次で定める。

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{1}{x}& (x\ne 0)\\ 0& (x=0)\end{array}$$

(1) $f$ は $x=0$ で微分可能であり $f^{\prime }(0)=0$ であることを、微分の定義に従って示せ。

(2) $x\ne 0$ における $f^{\prime }(x)$ を求めよ。

(3) $\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ は存在しないことを示せ。すなわち $f^{\prime }$ は $x=0$ で連続でない。

$y=\frac{1}{1+x^2}$ とする。

(1) すべての自然数 $n$ に対して

$$(1+x^2)y^{(n+1)}+2(n+1)x{y}^{(n)}+n(n+1)y^{(n-1)}=0$$

が成り立つことを示せ。ライプニッツの公式 $(uv{)}^{(m)}=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})u^{(k)}{v}^{(m-k)}$ を用いてよい。

(2) $y^{(n)}(0)$ を求めよ。

$n$ を自然数とし、$0<\theta <\pi$ とする。$x=\cos \theta$、$y=\cos n\theta$ とおく。

(1) $\frac{dy}{dx}$ を $\theta$ で表せ。

(2) 次が成り立つことを示せ。

$$(1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-x\frac{dy}{dx}+n^{2}y=0$$

(3) $n=3$ のとき、$y$ を $x$ の多項式で表せ。

実数全体で微分可能な関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x,y$ に対して

$$f(x+y)=f(x)f(y)$$

を満たし、さらに $f^{\prime }(0)=a$($a$ は定数)であるとする。以下、$f$ は恒等的に $0$ ではないとする。

(1) $f(0)=1$ であり、すべての $x$ で $f(x)\ne 0$ であることを示せ。

(2) すべての $x$ で $f^{\prime }(x)=af(x)$ が成り立つことを、微分の定義から示せ。

(3) $f(x)$ を求めよ。

関数 $f$ と実数 $x$ に対して

$$D(h)=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}(h\ne 0)$$

とおく。

(1) $f$ が $x$ で2回微分可能ならば $\underset{h\to 0}{\lim }D(h)=f^{\prime \prime }(x)$ であることを示せ。

(2) 逆は成り立たない。すなわち $\underset{h\to 0}{\lim }D(h)$ が存在しても $f^{\prime \prime }(x)$ が存在するとは限らない。$f(x)=x|x|$ と $x=0$ の場合について、そのことを確かめよ。

$f$ は2回微分可能で、つねに $f^{\prime }(x)>0$ であるとする。$f$ の逆関数を $g$ とする(すなわち、すべての $x$ で $g(f(x))=x$)。

(1) $y=f(x)$ とするとき

$$g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)},g^{\prime \prime }(y)=-\frac{f^{\prime \prime }(x)}{\{f^{\prime }(x){\}}^3}$$

が成り立つことを示せ。

(2) $f(x)=e^x+2x$ の逆関数を $g$ とするとき、$g^{\prime }(1)$ と $g^{\prime \prime }(1)$ を求めよ。

$n$ を自然数とし、$x>0$ で

$$f_n(x)=x^{n-1}\log x$$

とおく。

(1) $f_1^{\prime }(x)$、$f_2^{\prime \prime }(x)$、$f_3^{\prime \prime \prime }(x)$ をそれぞれ計算せよ。

(2) すべての自然数 $n$ に対して

$$f_n^{(n)}(x)=\frac{(n-1)!}{x}$$

であることを示せ。

関数 $f$ を次で定める。

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-1/x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$

以下、$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{t^k}{e^t}=0$($k$ は自然数)は用いてよい。

(1) 任意の自然数 $k$ に対して $\underset{x\to +0}{\lim }\frac{e^{-1/x}}{x^k}=0$ を示せ。

(2) $x>0$ において、$f^{(n)}(x)$ は多項式 $P_n$ を用いて $P_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x}$ と書けることを示せ。

(3) $f$ は何回でも微分可能で、すべての自然数 $n$ に対して $f^{(n)}(0)=0$ であることを示せ。