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数学III

微分法の計算 積・商・合成関数の微分

微分の定義から、積・商・合成関数の微分、三角・指数・対数関数の導関数、高次導関数までを扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 積の微分
  2. 商の微分
  3. 合成関数の微分
  4. 三角関数の微分(sin)
  5. 三角関数の微分(cos)
  6. 指数関数の微分
  7. 対数関数の微分
  8. 三角関数の微分(tan)
  9. 合成関数の微分(指数)
  10. 合成関数の微分(対数)
  11. 累乗の微分(分数・根号)
  12. 合成関数の微分(3乗)

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 積の微分(三角関数)
  2. 商の微分(三角関数)
  3. 合成関数の微分(三角×2乗)
  4. 対数微分法
  5. 合成関数の微分(対数)
  6. 指数関数の微分(底がa)
  7. 第2次導関数
  8. 媒介変数表示の微分
  9. 無理関数の微分
  10. 合成関数の微分(tan)
  11. 一般の対数の微分
  12. 積の微分(指数×三角)

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 対数微分法(積と商)
  2. 第n次導関数(三角関数)
  3. 媒介変数表示の微分(円)
  4. 陰関数の微分
  5. 合成関数の微分(指数×三角)
  6. 第2次導関数(積)
  7. 対数微分法(x の sin 乗)
  8. 逆関数の微分

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 多重の合成関数の微分
  2. 対数微分法(指数に対数)
  3. 商の微分
  4. 媒介変数表示の第2次導関数
  5. 陰関数の微分
  6. 第n次導関数(分数関数)
  7. 逆関数の微分係数
  8. 第n次導関数(指数と1次式の積)

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. e^x sin x の高次導関数
  2. ライプニッツの公式(x²e^x の n階導関数)
  3. 対数微分法(x^x の導関数)
  4. 媒介変数表示の微分(アステロイド)
  5. 陰関数の微分(デカルトの葉線)
  6. 逆関数の微分
  7. 1/(1−x) の n階導関数
  8. 対数微分法(積・商・根号の混じった関数)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 微分できるのに導関数が連続でない関数
  2. 1/(1+x²) の第 n 次導関数の値
  3. cos nθ が満たす微分方程式(媒介変数の2階微分)
  4. f(x+y)=f(x)f(y) を満たす微分可能な関数
  5. 対称2階差分は f'' に収束するか
  6. 逆関数の第2次導関数
  7. x^(n-1) log x の第 n 次導関数
  8. すべての階の微分係数が 0 になる関数

微分法の計算の解説(つまずきやすい点と学習の順序)