数学III / 微分法の計算

ライプニッツの公式(x²e^x の n階導関数)

実戦編微分法の計算高次導関数ライプニッツの公式単元横断

問題

$y = x^{2} e^{x}$ の $n$ 階導関数が $y^{(n)} = e^{x} {x^{2} + 2 n x + n (n - 1)}$ で与えられることを示せ( $n \geq 0$ )。

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ライプニッツ $(uv)^{(n)} = \sum (k n) u^{(k)} v^{(n - k)}$ 。 $u = x^{2}$ は $u = x^{2}, u^{'} = 2 x, u^{''} = 2$ 、 $u^{'''} = 0$ 。 $v = e^{x}$ は不変。 $k = 0, 1, 2$ だけ。

解答・解説

方針

$u = x^{2}$ (有限回で $0$ )、 $v = e^{x}$ (何回でも $e^{x}$ )にライプニッツの公式を適用。 $x^{2}$ の導関数が $k = 0, 1, 2$ で止まることを使う。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^{2} e^{x}$ は「多項式 $\times$ 指数」の積。積の $n$ 階微分にはライプニッツの公式 $(uv)^{(n)} = k \sum (k n) u^{(k)} v^{(n - k)}$ がある。

$u = x^{2}$ を選ぶのがコツ。 $x^{2}$ は微分すると $2 x, 2, 0$ と、 $3$ 階以上で消える。だから和は $k = 0, 1, 2$ の3項だけで打ち切れる。

$v = e^{x}$ は何回微分しても $e^{x}$ 。3項を足すだけで $n$ 階導関数が出る。

定理ライプニッツの公式

(uv)^{(n)} = k = 0 \sum n (k n) u^{(k)} v^{(n - k)}

① 各因数の導関数。 $u = x^{2}$ : $u = x^{2}, u^{'} = 2 x, u^{''} = 2, u^{(k)} = 0 (k \geq 3)$ 。 $v = e^{x}$ : $v^{(m)} = e^{x}$ (すべての $m$ )。

② ライプニッツ。 $u^{(k)} = 0$ ( $k \geq 3$ )より $k = 0, 1, 2$ だけ残り $y^{(n)} = (0 n) x^{2} e^{x} + (1 n) (2 x) e^{x} + (2 n) (2) e^{x} .$ ③ 整理。 $(1 n) = n, (2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ より $y^{(n)} = e^{x} {x^{2} + 2 n x + 2 \cdot \frac{n ( n - 1 )}{2}} = e^{x} {x^{2} + 2 n x + n (n - 1)} .$

まとめ ライプニッツで $u = x^{2}$ が $k \leq 2$ で止まり、 $y^{(n)} = e^{x} {x^{2} + 2 n x + n (n - 1)}$ 。高次導関数(ライプニッツ)と二項係数の融合。

発展 — 一歩先へ。 「 $e^{x}$ を外に出すと多項式部分が $P + P^{'}$ で育つ」(別解)は、演算子 $D = \frac{d}{d x}$ を使うと $(D + 1)$ を掛けることに当たる。 $(x^{2} e^{x})^{(n)} = e^{x} (D + 1)^{n} x^{2}$ と書け、 $(D + 1)^{n}$ を二項展開すればライプニッツの公式に戻る。微分を「演算子の掛け算」とみる見方は、微分方程式で主役になる。

答

ライプニッツの公式 $(uv)^{(n)} = \sum_{k} (k n) u^{(k)} v^{(n - k)}$ を $u = x^{2}, v = e^{x}$ に適用。 $x^{2}$ は $3$ 階以上で $0$ なので $k = 0, 1, 2$ のみ残り、 $e^{x} {x^{2} + 2 n x + n (n - 1)}$ 。

別解

別解 — 「 $e^{x}$ でくくって多項式部分を追う」(苦手な人にも見通しのよいルート)。 $y^{(n)} = e^{x} P_{n} (x)$ の形( $P_{n}$ は多項式)になることに着目する。積の微分で

$y^{(n + 1)} = e^{x} P_{n} + e^{x} P_{n}^{'} = e^{x} {P_{n} + P_{n}^{'}} .$

つまり多項式部分は「 $P_{n + 1} = P_{n} + P_{n}^{'}$ 」という簡単な漸化式に従う。 $P_{0} = x^{2}$ から順に

$P_{1} = x^{2} + 2 x, P_{2} = (x^{2} + 2 x) + (2 x + 2) = x^{2} + 4 x + 2, P_{3} = x^{2} + 6 x + 6, \dots$

$1$ 次の係数は $2, 4, 6, \dots = 2 n$ 、定数項は $0, 2, 6, \dots = n (n - 1)$ 。だから $P_{n} = x^{2} + 2 n x + n (n - 1)$ 。

ライプニッツの公式(本解)を覚えていなくても、「 $e^{x}$ を外に出すと多項式が $P + P^{'}$ で育つ」と気づけば、足し算だけで $n$ 階が追える。

ポイント

ライプニッツ $(uv)^{(n)} = \sum (k n) u^{(k)} v^{(n - k)}$ 。
$u = x^{2}$ は $k \geq 3$ で $0$ 、 $k = 0, 1, 2$ のみ。
$y^{(n)} = e^{x} {x^{2} + 2 n x + n (n - 1)}$ 。

よくある間違い

ライプニッツの公式で $u = x^{2}$ の微分が $3$ 階以上 $0$ になることを使わず、和を打ち切れない。
二項係数の対応を誤る( $k = 1$ の項の係数を取り違え、 $2 n x e^{x}$ にならない)。
$k = 2$ の項の係数 $(2 n) \cdot (x^{2})$ の $2$ 階微分 $2$ の積 $n (n - 1)$ を、 $2$ を掛け忘れて半分にする。