積の微分(指数×三角)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $e^x$ と $\cos x$ の積 — 積の公式 $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ だ。

$e^x$ は微分しても $e^x$ のまま、という特技を持つ。だから

$$y^{\prime }=e^x\cos x+e^x(-\sin x)$$

どちらの項にも $e^x$ が残る。共通因数 $e^x$ でくくって

$$y^{\prime }=e^x(\cos x-\sin x)$$

と整理するのが仕上げの作法。$e^x\times$(三角)の積は、微分してもこの形が保たれる。

$f=e^x$、$g=\cos x$。$f^{\prime }=e^x$、$g^{\prime }=-\sin x$。

$$y^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }=e^x\cos x+e^x(-\sin x)$$

共通因数 $e^x$ でくくる。

$$=e^x(\cos x-\sin x)$$

まとめ:$e^x\times$(三角関数)の積は、$e^x$ が微分しても変わらないので、共通因数 $e^x$ でくくれてきれいにまとまる。$\cos$ の微分の $-\sin$ の符号を落とさないこと。

発展 — 一歩先へ。 $y=e^x\cos x$ のグラフは、指数の勢いで広がる封筒 $\pm e^x$ の内側で振動する「育つ波」。ばねを揺らしながらエネルギーを注ぎ込む系(負の減衰)の変位がこの形で、逆符号の $e^{-x}\cos x$ は減衰振動 — 車のサスペンションや地震計の針の動きだ。

別解の「$\sqrt{2}$ 倍と $\frac{\pi }{4}$ 回転」は、大学で複素数を使うと $e^x\cos x=\mathrm{Re}{e}^{(1+i)x}$、微分は $(1+i)$ 倍($|1+i|=\sqrt{2}$、偏角 $\frac{\pi }{4}$)という $1$ 行に圧縮される。実数の計算で見えた螺旋は、複素数平面の回転そのものだった。

別解

答えのカッコ $\cos x-\sin x$ を三角関数の合成でまとめると、この関数の微分の正体が見える。

$$\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$$

つまり

$$y^{\prime }=\sqrt{2}{e}^x\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$$

もとの $y=e^x\cos x$ と見比べてほしい。微分した結果は「振幅が $\sqrt{2}$ 倍、位相が $\frac{\pi }{4}$ 進んだ、同じ形」— $e^x\cos$ 型は、微分で拡大 $+$ 回転されるだけで型が崩れない。

もう $1$ 回微分すれば、さらに $\sqrt{2}$ 倍・$\frac{\pi }{4}$ 進みで $y^{\prime \prime }=2e^x\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-2e^x\sin x$。$n$ 回なら $(\sqrt{2}{)}^n$ 倍・$\frac{n\pi }{4}$ 進み — 高次導関数が等比数列のように読める。

「微分のたびに $2$ 項がシャッフルされる面倒な関数」が、合成の目では「回りながら育つ螺旋」という単純な構造だった。この見方は $e^x\sin x$ の $n$ 階微分(入試の定番)への最短の入り口である。