累乗の微分(分数・根号)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 根号のままでは、微分の公式が当てはまらない。

そこで、指数に直す。

$$\sqrt{x}=x^{1/2}$$

これで、べきの微分公式が使える。

$$(x^p{)}^{\prime }=p{x}^{p-1}$$

大事なのは、この公式が $p$ が分数でも負の数でも成り立つことだ。

$p=\frac{1}{2}$ を入れる。

$$y^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{1/2-1}=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}$$

最後に、根号の形に戻す。

$$x^{-1/2}=\frac{1}{x^{1/2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

$$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

「根号 → 分数指数 → 公式 → 根号に戻す」

この $4$ ステップが、根号を含む微分の定型である。 $\sqrt[3]{x}$ でも $\frac{1}{\sqrt{x}}$ でも、手順は同じだ。

① 指数に直す。 $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$。

② 公式で微分する。

$$y^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$$

③ 根号に戻す。 $x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$。

$$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

まとめ: ​ や $\frac{1}{x^n}$ は、まず指数($x^{1/2}$、$x^{-n}$)に直すと $(x^p{)}^{\prime }=p{x}^{p-1}$ が使える。この公式は $p$ が分数や負でも成り立つのが数IIIの強み。答えは根号に戻して書く。

発展 — 一歩先へ。 $\sqrt{x}$ の微分は、電卓のない時代に平方根を計算する方法を与えた。

ニュートン法という。

$\sqrt{2}$ を求めたいとしよう。 つまり、$f(x)=x^2-2=0$ の解を探す。

アイデアは単純だ。

適当な出発点 $x_0$ をとり、そこでの接線を引く。 接線が $x$ 軸と交わる点を、次の近似値 $x_1$ とする。

これを繰り返す。

接線の式は、微分から出る。

$$y-f(x_n)=f^{\prime }(x_n)(x-x_n)$$

$y=0$ とおいて、$x$ を求める。

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$$

$f(x)=x^2-2$、$f^{\prime }(x)=2x$ を入れる。

$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}$$

この漸化式で、$\sqrt{2}$ が計算できる。

$x_0=1$ から始めよう。

$$x_1=\frac{1}{2}+1=1.5$$

$$x_2=\frac{1.5}{2}+\frac{1}{1.5}=0.75+0.6667=1.41667$$

$$x_3=1.414216\dots$$

$$x_4=1.4142135624\dots$$

$\sqrt{2}=1.41421356237\dots$

たった $4$ 回で、小数点以下 $10$ 桁が合った。

恐ろしい速さだ。 ニュートン法は、$1$ 回の反復で正しい桁数が約 $2$ 倍になる($2$ 次収束)。

• $x_1$: $1$ 桁
• $x_2$: $3$ 桁
• $x_3$: $6$ 桁
• $x_4$: $12$ 桁
• $x_5$: $24$ 桁

$10$ 回も回せば、小数点以下 $1000$ 桁を超える。

コンピュータが平方根を計算するとき、内部でやっているのがこれである。

なぜ、これほど速いのか。

接線は、その点で関数を"最もよく近似する直線"だからだ。

曲線を直線で置き換えて、答えを近似する — その近似がとてもよいので、繰り返すたびに精度が跳ね上がる。

微分が「接線の傾き」を教えてくれるからこそ、この方法が成立する。

方程式が解けなくても、微分できれば、解に近づける。

${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ という $1$ 行が、$\sqrt{2}$ を $1000$ 桁計算する力を秘めている。

別解

微分の定義に戻って、極限から導く。

公式を使わずに、定義だけで計算する別解である。

微分の定義。

$$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$$

$h$ を $0$ にすると、分子も分母も $0$ — $\frac{0}{0}$ の不定形だ。

根号の引き算は、有理化で処理する。

分子・分母に $\sqrt{x+h}+\sqrt{x}$ を掛ける。

$$\frac{\left(\sqrt{x+h}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}$$

分子は、和と差の積の公式で

$${\left(\sqrt{x+h}\right)}^2-{\left(\sqrt{x}\right)}^2=(x+h)-x=h$$

分子が、ただの $h$ になった!

$$=\frac{h}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$$

$h$ が約分で消えた。 これで $\frac{0}{0}$ が解消した。

あとは $h\to 0$ とするだけ。

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

公式と同じ答え ✓

この計算が示すこと。

$\frac{1}{2\sqrt{x}}$ の「$2$」は、$\sqrt{x}$ が $2$ 回足されたことから来ている。

公式の $\frac{1}{2}$ が、有理化の中から自然に出てきた。

この導関数を、じっくり眺めてみよう。

$$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$x$ が大きくなると、$y^{\prime }$ は $0$ に近づく — $\sqrt{x}$ の増え方は、どんどん緩やかになる。

$$\sqrt{100}=10,\sqrt{10000}=100$$

$x$ が $100$ 倍になっても、$\sqrt{x}$ は $10$ 倍にしかならない。

逆に、$x\to +0$ では

$$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}\to +\infty$$

傾きが無限大に発散する。

グラフは原点で、垂直に立ち上がる。

この事実には、意味がある。

$\sqrt{x}$ は $x=0$ で連続だが、微分できない。

「連続だが微分できない点」 — グラフが尖っていたり、垂直になっていたりする点だ。

$y=|x|$ も、$x=0$ で連続だが微分できない(左からの傾き $-1$、右からの傾き $+1$ で一致しない)。

「連続 $\Rightarrow$ 微分可能」は、成り立たない。

逆に「微分可能 $\Rightarrow$ 連続」は、正しい。

微分可能のほうが、強い条件なのだ。

そして驚くべきことに、「すべての点で連続だが、すべての点で微分できない関数」も存在する(ワイエルシュトラス関数)。どこまで拡大しても、ギザギザが続く。 数学の世界は、直感より遥かに広い。