対数微分法

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^x$ は困った形だ。底が定数なら指数関数の公式、指数が定数ならべき乗の公式 — だが両方に $x$ がいて、どちらの公式も使えない。

指数の絡んだ複雑な式は、対数をとって次数を下ろす。両辺の対数で

$$\log y=x\log x$$

右辺はただの積になり、積の公式で微分できる。左辺の微分は $\frac{y^{\prime }}{y}$(合成関数)— 最後に $y$ を掛け戻せば $y^{\prime }$ が出る。これが対数微分法である。

① 両辺の対数をとる。

$$\log y=\log x^x=x\log x$$

② 両辺を $x$ で微分する。 左辺は $\frac{y^{\prime }}{y}$(合成関数)、右辺は積の微分 $(x\log x{)}^{\prime }=1\cdot \log x+x\cdot \frac{1}{x}=\log x+1$。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\log x+1$$

③ $y^{\prime }$ について解く。 $y=x^x$ を戻す。

$$y^{\prime }=y(\log x+1)=x^x(\log x+1)$$

まとめ:$x^x$ のように「底も指数も $x$」は、$(x^n{)}^{\prime }$ でも $(a^x{)}^{\prime }$ でも扱えない。両辺の対数をとると積 $x\log x$ になり、ふつうに微分できる。左辺の微分が $\frac{y^{\prime }}{y}$ になる点がカギだ。

発展 — 一歩先へ。 ⓪のよくある誤答 $2$ つ、実は足すと正解になる。べき乗扱いの $x\cdot x^{x-1}=x^x$ と、指数関数扱いの $x^x\log x$ — 和は $x^x(1+\log x)$。偶然ではなく、「底の $x$ を動かした寄与」と「指数の $x$ を動かした寄与」の分業で、両方動くなら寄与は足し算(多変数の連鎖律・大学)になるからだ。誤答が正解の部品だった、という美しい種明かしである。

$y^{\prime }=0$ を解くと $\log x=-1$、$x=\frac{1}{e}$。$x^x$ はここで最小値 $e^{-1/e}\approx 0.692$ をとる — ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1/2}\approx 0.707$ より小さい谷が、$e$ がらみの場所に隠れている。

別解

対数を「とる」代わりに、最初から指数関数の形に書き直す手がある。

$a=e^{\log a}$ の関係を使うと($x>0$)

$$x^x=e^{x\log x}$$

これで正体は「$e^{(\text{中身})}$」という、ただの合成関数だ。連鎖律で

$$y^{\prime }=e^{x\log x}\cdot (x\log x{)}^{\prime }=e^{x\log x}\left(\log x+x\cdot \frac{1}{x}\right)=x^x(\log x+1)$$

対数微分法と同じ答えになる。

$2$ つのルートは鏡写しだ。対数微分法は「両辺を $\log$ の世界に運んでから微分」、この別解は「式そのものを $e$ の世界に翻訳してから微分」— どちらも「べきの肩の $x$ を、掛け算の世界に下ろす」ことをしている。$y$ を残したまま進む対数微分法に対し、こちらは $y$ が現れず一本道なので、式変形の見通しはむしろ良い。$x^{\sin x}$ でも $(\log x{)}^x$ でも、同じ翻訳が効く。