無理関数の微分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 根号は $\frac{1}{2}$ 乗 — $\sqrt{u}=u^{1/2}$ と書き直せば、べき乗 $+$ 合成の型に落ちる。

外側 $u^{1/2}$ の微分は $\frac{1}{2}{u}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}$、内側 $u=x^2+1$ の微分は $2x$。掛けて

$$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

$2$ と $\frac{1}{2}$ が打ち消し合ってきれいに整う。「 ​ を見たら $\frac{1}{2}$ 乗に読み替える」が第一手だ。

$u=x^2+1$、$u^{\prime }=2x$。

$$y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

まとめ:$\sqrt{(\text{中身})}$ の微分は $\frac{(\text{中身の微分})}{2\sqrt{(\text{中身})}}$。中身 $x^2+1$ の微分 $2x$ が分子に出て、$2$ と約分できて $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$。

発展 — 一歩先へ。 答え $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ の絶対値は常に $1$ 未満で、$x\to \pm \infty$ で $\pm 1$ に近づく。つまり $y=\sqrt{x^2+1}$ の傾きは決して $1$ を超えず、遠方で直線 $y=\pm x$ に漸近する — この曲線は双曲線 $y^2-x^2=1$ の上半分で、漸近線の性質が導関数の式にそのまま映っている。

$y^2=x^2+1$ を微分した $2y{y}^{\prime }=2x$、すなわち $y{y}^{\prime }=x$ という関係は「$ydy=xdx$」— 積分の言葉に直せる形で、微分方程式の変数分離の最初の一歩と同じ構造をしている。

別解

根号を微分する前に消す手がある。両辺を $2$ 乗して

$$y^2=x^2+1$$

根号のない、多項式だけの関係になった。この両辺を $x$ で微分する。左辺の $y^2$ は「$y$ が $x$ の関数」であることを忘れずに、合成として

$$2y{y}^{\prime }=2x$$

$y^{\prime }$ について解いて

$$y^{\prime }=\frac{x}{y}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

$\frac{1}{2}$ 乗ルートと同じ答えだ($y>0$ なので割り算は安全)。

この「式の関係のまま微分して、後で $y^{\prime }$ を取り出す」やり方を陰関数微分という。分数べきの計算が一切現れないのが利点で、円 $x^2+y^2=1$ のように「$y=$」の形に直しにくい曲線では、この方法だけが実用的になる。根号・分数べきが嫌いな人の正式な避難路である。