陰関数の微分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円の式を $y=$ の形に解かずに、両辺をそのまま $x$ で微分する。これが陰関数の微分だ。

このとき $y^2$ の項は、連鎖律で $2y\frac{dy}{dx}$ になる。$y$ が $x$ の関数だからだ。

すると $\frac{dy}{dx}$ を含む式ができる。それを $\frac{dy}{dx}$ について解く。解かずに微分し、$\frac{dy}{dx}$ を未知数として取り出すのが核だ。

① 両辺を $x$ で微分する。 $x^2$ の微分は $2x$。$y^2$ は $y$ が $x$ の関数なので、連鎖律で $2y\cdot \frac{dy}{dx}$。右辺の定数 $1$ は $0$。

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$

② $\frac{dy}{dx}$ について解く。

$$2y\frac{dy}{dx}=-2x\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

まとめ:$y=\pm \sqrt{1-x^2}$ と解いてから微分してもよいが、陰関数の微分なら解かずに両辺を微分するだけ。$y$ を含む項は「$y$ で微分 × $\frac{dy}{dx}$」になるのがポイント。円の接線の傾き $-\frac{x}{y}$ がすぐ出る。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ をもう一度 $x$ で微分すると、円の曲がり具合が見える。商の微分と $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$、$x^2+y^2=1$ を使うと $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{1}{y^3}$ が得られる。

上半円 $y>0$ では $y^{\prime \prime }<0$ で、上に凸(中心の側へ曲がる)。円がふくらむ向きと一致する。

さらに曲率 $\kappa =\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$ を計算すると、$1+y^{\prime 2}=\frac{1}{y^2}$ より $\kappa =1$。どの点でも曲がり具合が同じで、$1$($=\frac{1}{\text{半径}}$)になる。円が「曲率一定の曲線」であることが、微分から出てくる。

別解

別解 — 上下 $2$ 枚の半円に分けて微分する(得意な人向けの視点)。 円は $1$ つの関数のグラフではない。だが上半分と下半分に切り分ければ、それぞれ陽関数になる。

上半円は $y=\sqrt{1-x^2}$、下半円は $y=-\sqrt{1-x^2}$。それぞれ $x$ で微分すると

$$(\sqrt{1-x^2}{)}^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}},(-\sqrt{1-x^2}{)}^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.$$

ここで $\sqrt{1-x^2}=|y|$ に気をつけて戻すと、上半円は $\frac{-x}{y}$、下半円も $\frac{x}{-y}=\frac{-x}{y}$。結局どちらの枝でも $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ にそろう。

両辺をそのまま微分する本解と同じ答え。陰関数の $-\frac{x}{y}$ は、上下 $2$ 枚の半円を $1$ つの式でまとめて言い当てている。枝ごとに根号を場合分けせずに済むのが、陰関数の微分の強みだ。