合成関数の微分(3乗)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\sin }^{3}x$ という書き方に、まず慣れよう。

$${\sin }^{3}x=(\sin x{)}^3$$

$\sin x$ を $3$ 乗したもの、という意味だ。$\sin (x^3)$ ではない。

この読み替えが、すべてを決める。

$(\sin x{)}^3$ と書けば、構造が見える。

• 外側: $({)}^3$ — かたまりを $3$ 乗
• 内側: $\sin x$ — かたまりの中身

合成関数だ。連鎖律を当てはめる。

外側の微分: $u^3$ を微分して $3u^2$、つまり $3(\sin x{)}^2=3{\sin }^{2}x$。

内側の微分: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$。

掛ける。

$$y^{\prime }=3{\sin }^{2}x\cdot \cos x$$

「かたまりを見抜けば、あとはいつもの連鎖律」 — ${\cos }^{4}x$ でも ${\tan }^{2}x$ でも、まったく同じ手順で微分できる。

${\sin }^{3}x=(\sin x{)}^3$ とみる。$u=\sin x$。

① 外側を微分する。 $({)}^3\to 3({)}^2$。

$$3(\sin x{)}^2=3{\sin }^{2}x$$

② 内側の微分をかける。 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$。

$$y^{\prime }=3{\sin }^{2}x\times \cos x=3{\sin }^{2}x\cos x$$

まとめ:${\sin }^{3}x$ は「$\sin x$ の $3$ 乗」= 合成関数。外側($3$ 乗)を微分し、内側($\sin x$)の微分 $\cos x$ をかける。${\sin }^{n}x$ の微分では $\cos x$ が必ず出てくる。

発展 — 一歩先へ。 ここまでで、数学IIIの微分の道具が出そろった。全体を、$1$ 枚の地図にまとめておこう。

覚えるべき基本の導関数。

$$(x^p{)}^{\prime }=p{x}^{p-1}(p\text{ は任意の実数})$$ $$(e^x{)}^{\prime }=e^x,(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$ $$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x,(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x,(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

$6$ つだけ。

組み立ての規則(これも $3$ つだけ)。

$$(af+bg{)}^{\prime }=a{f}^{\prime }+b{g}^{\prime }(\text{和・定数倍})$$ $$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }(\text{積})$$ $$\{f(g(x)){\}}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)(\text{合成})$$

基本 $6$ つ、規則 $3$ つ。合わせて $9$ 個。

これだけで、高校で出会うどんな関数も微分できる。

商の微分は? 積 $+$ 合成から出る。 $\tan$ の微分は? 商から出る。 逆関数の微分は? 合成から出る。 対数微分法は? 合成 $+$ 対数の性質。

「$9$ 個の道具で、無限の関数を微分する」

この経済性が、微分の美しさだ。

そして、微分は必ず終わる。

どんなに複雑な式でも、分解していけば、必ず基本の $6$ つに行き着く。 迷子になることはない。

手順は、いつも同じ。

① 式の"いちばん外側"の構造を見る(和? 積? 商? 合成?)

② 対応する規則を当てはめる

③ 出てきた部品を、また ① から

この再帰的な手続きが、必ず有限回で終わる。

だから、微分はコンピュータにもできる。 数式処理システム(Mathematica、SymPy)は、まさにこの手順を実装している。

一方、積分にはこんな保証がない。

$e^{x^2}$、$\frac{\sin x}{x}$、$\frac{1}{\log x}$ — どれも微分は一瞬だが、積分は初等関数で書けない。

微分は「分解」、積分は「発見」。

次の単元(積分法の計算)では、この非対称性と向き合うことになる。

そこで武器になるのは — 皮肉なことに — 微分の公式である。

「積分とは、微分の逆をたどること」 だからだ。

$9$ 個の道具を、しっかり手に馴染ませておこう。 次の戦いでも、同じ道具を使う。

別解

$3$ 倍角の公式で"波の重ね合わせ"に分解してから微分する。

まったく違う道を通って、同じ答えに着くことを確かめよう。

$3$ 倍角の公式を思い出す。

$$\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$$

これを ${\sin }^{3}x$ について解く。

$$4{\sin }^{3}x=3\sin x-\sin 3x$$

$${\sin }^{3}x=\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}$$

確かめよう。 $x=\frac{\pi }{2}$ なら、左辺 $=1^3=1$。

右辺 $=\frac{3\times 1-\sin \frac{3\pi }{2}}{4}=\frac{3-(-1)}{4}=1$ ✓

この形なら、合成関数の $3$ 乗はどこにもない。 ただの $\sin$ の足し算だ。

微分する。

$$y^{\prime }=\frac{3\cos x-3\cos 3x}{4}$$

($\sin 3x$ の微分は $3\cos 3x$。内側の微分 $3$ を忘れずに。)

さて、これが本解の $3{\sin }^{2}x\cos x$ と一致するだろうか。

$3$ 倍角($\cos$ 版)を使う。

$$\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$$

$$3\cos x-3\cos 3x=3\cos x-3(4{\cos }^{3}x-3\cos x)=12\cos x-12{\cos }^{3}x$$

$$=12\cos x(1-{\cos }^{2}x)=12\cos x{\sin }^{2}x$$

$4$ で割ると

$$y^{\prime }=\frac{12{\sin }^{2}x\cos x}{4}=3{\sin }^{2}x\cos x$$

本解と一致した ✓

遠回りだったが、収穫がある。

${\sin }^{3}x$ が、$2$ つの単純な波の重ね合わせだと分かった。

$${\sin }^{3}x=\frac{3}{4}\sin x-\frac{1}{4}\sin 3x$$

「$3$ 乗する」という非線形な操作の正体は、「基本の波($\sin x$)と、$3$ 倍の速さの波($\sin 3x$)の混合」だったのだ。

この分解は、音の世界そのものである。

ギターの弦を弾くと、基本の振動($\sin x$)だけでなく、$2$ 倍・$3$ 倍の速さの振動(倍音)も同時に鳴る。

その混ざり具合が、音色を決める。 同じ「ド」でも、ピアノとバイオリンで音色が違うのは、倍音の配合が違うからだ。

「どんな波も、単純な $\sin$ 波の重ね合わせで書ける」

これをフーリエ級数という。 音声・画像の圧縮(MP3・JPEG)は、この原理で動いている。

${\sin }^{3}x$ の微分という素朴な計算の中に、音楽と信号処理の入り口が隠れていた。

そして、この分解形は積分でも役に立つ。

$$\int {\sin }^{3}xdx=\int \left(\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}\right)dx=-\frac{3\cos x}{4}+\frac{\cos 3x}{12}+C$$

${\sin }^{3}x$ をそのまま積分するより、はるかに楽だ。

「難しい形を、単純な形の和に分解する」 — 微分でも積分でも、この発想が効く。