媒介変数表示の微分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x$ も $y$ も $t$ で表されている(媒介変数表示)。$y$ を $x$ で直接微分できないときは、$t$ を仲介役にする。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$

「$t$ が動くと $y$ がどれだけ動くか」を「$t$ が動くと $x$ がどれだけ動くか」で割れば、$x$ に対する $y$ の変化率になる — 分数の約分と同じ感覚だ。

$\frac{dy}{dt}=3t^2$、$\frac{dx}{dt}=2t$ を割って $\frac{3t}{2}$。

① $t$ でそれぞれ微分する。

$$\frac{dx}{dt}=2t,\frac{dy}{dt}=3t^2$$

② 比をとる。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3t}{2}$$

まとめ:$x,y$ が両方 $t$ の式(媒介変数表示)なら、$\frac{dy}{dx}$ は「$t$ で微分した $\frac{dy}{dt}$ を $\frac{dx}{dt}$ で割る」。$t$ を消さずに、$t$ の式のまま答えることが多い。

発展 — 一歩先へ。 $(x,y)=(t^2,t^3)$ の $t$ を全実数に広げると、原点で尖った「カスプ(とがり)」を持つ有名な曲線(半立方放物線)になる。$t=0$ で $\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dt}=0$ — 分母も分子も $0$ になり公式が使えない点で、まさにそこに尖りが現れている。公式の適用限界と図形の特異点が対応する好例だ。

媒介変数の微分は、物理では「時刻 $t$ の位置 $(x(t),y(t))$ から軌道の向きを求める」計算そのもの。$\frac{dy}{dx}=\frac{3t}{2}$ は、時刻 $t$ に粒子が進む方向の傾きである。

別解

この曲線は、$t$ を消去して普通の関数に直せる — 公式の答えを独立ルートで検算してみよう。

$x=t^2$($t>0$)から $t=\sqrt{x}$。これを $y=t^3$ に入れて

$$y=(\sqrt{x}{)}^3=x^{3/2}$$

曲線の正体は $y=x^{3/2}$ だった。べき乗の公式で

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}{x}^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$$

$\sqrt{x}=t$ を戻せば $\frac{3t}{2}$ — 媒介変数の公式と完全に一致する。

いつでも消去できるわけではない(サイクロイドのように $t$ が消せない曲線こそ媒介変数表示の本領だ)。だが消去できる問題では、この照合が公式の使い方の誤り(逆さに割る、$t$ の微分を忘れる)を確実にあぶり出す。「$2$ つの道で同じ答え」は、新しい公式を信頼するいちばんの近道である。