商の微分(三角関数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分数の形 — 商の微分公式の出番だ。

$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$$

分子は「上を微分 $\times$ 下 $-$ 上 $\times$ 下を微分」で引き算(積の公式との違いはここ)、分母は $2$ 乗。

$f=\sin x,g=x$ を当てはめる。引き算の順序($f^{\prime }g$ が先)を崩さないことだけ気をつければ、あとは代入だ。

$f=\sin x$、$g=x$。$f^{\prime }=\cos x$、$g^{\prime }=1$。

$$y^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}=\frac{\cos x\cdot x-\sin x\cdot 1}{x^2}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$$

まとめ:商の微分は分子 $f^{\prime }g-f{g}^{\prime }$、分母 $g^2$。$\frac{\sin x}{x}$ の微分は $\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$。分子の順番($f^{\prime }g$ が先)を守れば符号ミスが防げる。

発展 — 一歩先へ。 この $y=\frac{\sin x}{x}$ は、極限の単元で $x\to 0$ のとき $1$ に向かう主役だった関数(シンク関数と呼ばれ、信号処理で重要)。いま求めた導関数の分子 $x\cos x-\sin x$ が $0$ になる点が、この減衰する波の山と谷 — 計算の答えがグラフの形の言葉に翻訳できる。

分子 $=0$ は $\tan x=x$ と書き直せて、この方程式の解は無限個あるが規則的な式では書けない。「微分はできるのに、極値の位置は閉じた式にならない」— 数IIIではこういう関数が普通になっていく。

別解

商の公式を使わずに、積の公式だけで片づける道がある。分母を負のべきに直すのだ。

$$y=\frac{\sin x}{x}=\sin x\cdot x^{-1}$$

積の公式で

$$y^{\prime }=\cos x\cdot x^{-1}+\sin x\cdot (-x^{-2})=\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}$$

通分すれば $\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$ — 商の公式と同じ答えになる。

この見方の利点は $2$ つ。第一に、覚える公式が減る(商の公式は「積 $+$ 負のべき」から毎回作れる — 実際 ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=(f{g}^{-1}{)}^{\prime }$ を展開すると公式が出てくる)。第二に、引き算の順序を間違える事故が構造的に起きない($-x^{-2}$ の符号が自動で正しい位置に入る)。

商の公式の分子の順序に不安がある人は、この積ルートを本線にしてよい。