対数微分法(x^x の導関数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^x$ は底も指数も $x$。指数関数の公式($a^x$ の $a$ は定数)も、べき関数の公式($x^a$ の $a$ は定数)も、そのままでは当てはまらない。

こういうときは対数微分法。両辺の自然対数をとると $\log y=x\log x$ と、扱いやすい積になる。

両辺を $x$ で微分すると、左辺は $\frac{y^{\prime }}{y}$(合成関数)。右辺は積の微分で $\log x+1$。$y$ を掛け戻せば $y^{\prime }$ が出る。

① 対数をとる。 $x>0,y=x^x>0$ で $$\log y=\log (x^x)=x\log x.$$ ② 両辺を微分。 左辺は合成関数で $\frac{y^{\prime }}{y}$。右辺は積の微分で $$\frac{y^{\prime }}{y}=1\cdot \log x+x\cdot \frac{1}{x}=\log x+1.$$ ③ $y^{\prime }$ を求める。 $y=x^x$ を掛けて $$y^{\prime }=x^x(\log x+1).$$

まとめ 対数をとって $\log y=x\log x$、微分して $\frac{y^{\prime }}{y}=\log x+1$、$y^{\prime }=x^x(\log x+1)$。対数微分法と指数関数の融合。底も指数も変数なら対数をとる。

発展 — 一歩先へ。 $y^{\prime }=x^x(\log x+1)=0$ より、$x^x$ は $\log x+1=0$、すなわち $x=\frac{1}{e}$ で極小になる。最小値は ${\left(\frac{1}{e}\right)}^{1/e}\approx 0.69$。「$x^x$ は $x\to 0^{+}$ で $1$ に近づき、$\frac{1}{e}$ でいったん下がってから増加に転じる」という、意外な形のグラフが導関数から読める。

別解

別解 — 指数の形 $x^x=e^{x\log x}$ に直す(得意な人向けの高い視点)。 対数をとる代わりに、最初から指数関数として書いてしまう。

$$x^x=e^{x\log x}.$$

これなら合成関数の微分がそのまま使える。外側 $e^u$ の微分は $e^u$、内側 $u=x\log x$ の微分は積の微分で $\log x+x\cdot \frac{1}{x}=\log x+1$。よって

$$y^{\prime }=e^{x\log x}(\log x+1)=x^x(\log x+1).$$

対数微分法(本解)と中身は同じだが、「$\log y=\cdots$ を微分して $\frac{y^{\prime }}{y}$」という間接的な手順を踏まず、合成関数1本で直接 $y^{\prime }$ が出る。指数の肩に変数があるときは $e^{(\cdots )}$ に書き換える、と覚えておくと迷わない。