数学III / 微分法の計算

第2次導関数

★★ 標準高次導関数

問題

関数 $y = e^{2 x}$ の第 $2$ 次導関数 $y^{''}$ を求めよ。

ヒントを見る

$1$ 回微分して、その結果をもう $1$ 回微分するだけ。定数倍がどんどん重なっていく様子を観察しよう。

解答・解説

方針

$1$ 回微分して $y^{'}$ を求め、それをもう $1$ 回微分して $y^{''}$ を得る。 $e^{2 x}$ を微分するたびに $2$ が前に出る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 第 $2$ 次導関数は、「微分を $2$ 回」以外の何ものでもない。 $1$ 回目の結果をもう一度微分するだけだ。

$e^{2 x}$ は合成関数(内側 $2 x$ )だから、微分のたびに内側の微分 $2$ が前に出る。

$y^{'} = 2 e^{2 x}, y^{''} = 2 \cdot 2 e^{2 x} = 4 e^{2 x}$

「 $1$ 回につき $\times 2$ 」の規則が見えれば、手が止まることはない。

公式第

2

次導関数

y^{''} = (y^{'})^{'}

(導関数をもう

1

回微分)

① $1$ 回微分する。 $(e^{2 x})^{'} = e^{2 x} \times 2 = 2 e^{2 x}$ 。

$y^{'} = 2 e^{2 x}$

② もう $1$ 回微分する。

$y^{''} = (2 e^{2 x})^{'} = 2 \times 2 e^{2 x} = 4 e^{2 x}$

まとめ:第 $2$ 次導関数は「微分を $2$ 回」。 $e^{2 x}$ は微分のたびに $2$ が出るので、 $2$ 回で $2^{2} = 4$ 倍になる。一般に $e^{a x}$ を $n$ 回微分すると $a^{n} e^{a x}$ だ。

発展 — 一歩先へ。 $sin x$ で同じ遊びをすると、 $1$ 回微分するたびに $cos x \to - sin x \to - cos x \to sin x$ と周期 $4$ で一巡する。指数は等比( $2^{n}$ 倍)、三角は循環 — 高次導関数の「その先」の風景は関数の種類で全く違い、 $e^{x} sin x$ 型ではこの $2$ つが混ざった螺旋(回転 $+$ 拡大)が現れる。

$y^{''} = 4 y$ の親戚 $y^{''} = - 4 y$ を満たすのは $sin 2 x, cos 2 x$ 。符号ひとつで「爆発する指数」と「回り続ける振動」に分かれる — この対比が、大学で学ぶ微分方程式の入り口の景色である。

答

$y^{''} = 4 e^{2 x}$

別解

$2$ 回で止めず、規則として先読みしてしまおう。

微分のたびに $2$ が $1$ つ前に出るのだから

$y^{'} = 2 e^{2 x}, y^{''} = 2^{2} e^{2 x}, y^{'''} = 2^{3} e^{2 x}, \dots y^{(n)} = 2^{n} e^{2 x}$

第 $n$ 次導関数まで一気に手に入った。「 $2$ 回微分せよ」という問いは、この等比の列( $1$ 回ごとに $2$ 倍)の $2$ 段目を聞いているにすぎない。

もうひとつの見どころは、答えを $y$ 自身で書き直した関係

$y^{''} = 4 y$

「 $2$ 回微分すると自分の $4$ 倍に戻る」。 $e^{2 x}$ は、この性質を持つ関数の代表だ( $e^{- 2 x}$ も同じ関係を満たす)。ばねの振動や波の方程式など、物理法則の多くは「 $y^{''}$ と $y$ の関係」で書かれる — 指数関数が自然科学のあらゆる場所に現れるのは、微分に対してこのように閉じているからである。

ポイント

$y^{''} = (y^{'})^{'}$ (微分を $2$ 回)。
$e^{a x}$ は微分のたびに $a$ が出る。

よくある間違い

$2$ 回目の微分で内側の $2$ を出し忘れ $y^{''} = 2 e^{2 x}$ とする
$(e^{2 x})^{'}$ を $e^{2 x}$ のままとする( $e^{x}$ と違い内側 $2 x$ の微分 $2$ が要る)
$y^{''}$ を $(y^{'})^{2}$ ( $2$ 乗)と混同する(記号の意味は「 $2$ 回微分」)