合成関数の微分(tan)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\tan$ の微分の公式に、合成(中身 $2x$)を重ねるだけだ。

$$(\tan u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{{\cos }^{2}u}$$

$u=2x$、$u^{\prime }=2$ を入れて

$$y^{\prime }=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}$$

「分子に中身の微分、分母に ${\cos }^2(\text{中身})$」— $\log$ の $\frac{u^{\prime }}{u}$ と同じ「速記の型」として覚えると速い。

$u=2x$、$u^{\prime }=2$。

$$y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{{\cos }^{2}u}=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}$$

まとめ:$\tan (\text{中身})$ の微分は $\frac{(\text{中身の微分})}{{\cos }^2(\text{中身})}$。$\tan x$ の $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ が、中身 $2x$ の微分 $2$ で $\frac{2}{{\cos }^{2}2x}$ になる。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{1}{{\cos }^{2}u}=1+{\tan }^{2}u$(三平方の恒等式を ${\cos }^2$ で割った形)を使うと、$y^{\prime }=2(1+{\tan }^{2}2x)=2(1+y^2)$ — 導関数が関数自身の $2$ 次式で書ける。$\tan$ は「傾きが自分の $2$ 乗で決まる」関数で、この関係は積分($\frac{1}{1+x^2}$ の積分が $\arctan$)への伏線になっている。

また $y^{\prime }=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}\geqq 2>0$ — $\tan 2x$ は定義される区間ではどこでも増加で、傾きの最小値 $2$ は $x=0$ 付近。グラフの「立ち上がりの速さ」が導関数の式から読める。

別解

$\tan$ の公式そのものを、商の微分から手作りしてみよう。公式を忘れたときの復元手順そのものだ。

$\tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$ に商の公式を使う($\sin 2x,\cos 2x$ の微分はそれぞれ $2\cos 2x,-2\sin 2x$)。

$$y^{\prime }=\frac{2\cos 2x\cdot \cos 2x-\sin 2x\cdot (-2\sin 2x)}{{\cos }^{2}2x}=\frac{2({\cos }^{2}2x+{\sin }^{2}2x)}{{\cos }^{2}2x}$$

分子に ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ が現れて

$$y^{\prime }=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}$$

公式と同じ答えに着地した。

$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ という公式は、この計算($\sin ,\cos$ の微分 $+$ 商の公式 $+$ 三平方の恒等式)を $1$ 語に圧縮した略語にすぎない。一度自分の手で展開しておくと、「分母はなぜ ${\cos }^2$ か」「分子の $1$ はどこから来たか」が腑に落ちて、忘れても現場で作り直せる。