対数微分法(積・商・根号の混じった関数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sqrt{\frac{x(x+1)}{x+2}}$ は積・商・根号が入り混じっている。このまま微分すると煩雑だ。

対数微分法で、掛け算・割り算・累乗を、足し算・引き算・定数倍に変える。両辺の対数をとると、$\log y=\frac{1}{2}\{\log x+\log (x+1)-\log (x+2)\}$ と和・差にほどける。

各項を微分するのは簡単($\frac{1}{x}$ 型)。$\frac{y^{\prime }}{y}$ が求まったら $y$ を掛け戻す。

① 対数をとる。 $x>0$ で $$\log y=\frac{1}{2}\{\log x+\log (x+1)-\log (x+2)\}.$$ ② 微分。 左辺は $\frac{y^{\prime }}{y}$、右辺は各項 $\frac{1}{(\cdots )}$ の和で $$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right).$$ ③ $y^{\prime }$ を求める。 $y=\sqrt{\frac{x(x+1)}{x+2}}$ を掛けて $$y^{\prime }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x(x+1)}{x+2}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right).$$

まとめ 対数をとって和・差に分解し、$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)$、$y$ を掛け戻す。対数微分法と積・商の融合。

発展 — 一歩先へ。 対数微分法は「対数微分 $\frac{y^{\prime }}{y}=(\log y{)}^{\prime }$」を計算している。この量は relative rate(相対変化率)とよばれ、経済学では成長率、物理では崩壊率として現れる。積 $y=fg$ の成長率が各因子の成長率の和 $\frac{f^{\prime }}{f}+\frac{g^{\prime }}{g}$ になる、という便利な性質が、対数微分の威力の正体だ。

別解

別解 — 対数をとらず、商と積の微分で押し切る(苦手な人向けの確認ルート)。 対数微分法が主役だが、素朴に微分しても同じ答えに着くことを確かめておく。まず根号を $\frac{1}{2}$ 乗に直す。

$$y={\left(\frac{x(x+1)}{x+2}\right)}^{1/2}.$$

合成関数で $y^{\prime }=\frac{1}{2}{\left(\frac{x(x+1)}{x+2}\right)}^{-1/2}\cdot {\left(\frac{x(x+1)}{x+2}\right)}^{\prime }$。中の商 $\frac{x^2+x}{x+2}$ を商の微分で計算すると

$${\left(\frac{x^2+x}{x+2}\right)}^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+2)-(x^2+x)}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x+2}{(x+2{)}^2}.$$

これを整理していくと、対数微分法で得た $y^{\prime }=\frac{y}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)$ と一致する(数値でも $x=2$ で両者が合う)。

対数微分は「積・商・累乗を足し算に変える」ぶん圧倒的に速いが、直接微分と突き合わせると計算ミスの検算になる。どちらでも同じ、を一度確かめておくと安心だ。