数学III / 微分法の計算

三角関数の微分(cos)

★ 基礎三角関数の微分

問題

関数 $y = cos x$ を微分せよ。また $y = cos 3 x$ も微分せよ。

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$cos$ の微分は符号に注意。 $cos 3 x$ のほうは、さらに中身の微分も掛かる。

解答・解説

方針

$(cos x)^{'} = - sin x$ (マイナスがつく)。 $cos 3 x$ は合成なので、 $- sin 3 x$ に内側 $3 x$ の微分 $3$ をかける。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $cos$ の微分には、マイナスがつく。

$(cos x)^{'} = - sin x$

$sin$ の微分( $cos x$ )には符号が変わらないのに、 $cos$ は変わる。 ここが混乱のもとだ。

グラフで納得しておこう。

$x = 0$ の近くで、 $cos x$ は $1$ から下がり始める。 つまり傾きは負である。

そして $- sin 0 = 0$ 、 $x$ が少し増えると $- sin x < 0$ — 確かに負だ。

$cos$ は「山の頂上」から始まるので、最初は下り坂。だからマイナス。

後半の $cos 3 x$ は、いつもの合成関数だ。

$(cos 3 x)^{'} = - sin 3 x \times 3 = - 3 sin 3 x$

マイナスと、内側の微分。 $2$ つとも落とさないことである。

公式

(cos x)^{'} = - sin x

(マイナスがつく)。合成なら

(cos u)^{'} = - sin u \cdot u^{'}

① $cos x$ の微分。

$(cos x)^{'} = - sin x$

② $cos 3 x$ の微分。 $u = 3 x$ 、 $u^{'} = 3$ 。

$(cos 3 x)^{'} = - sin 3 x \times 3 = - 3 sin 3 x$

まとめ: $cos$ の微分は $- sin$ (マイナスが出る)。 $sin$ の微分( $+ cos$ )との符号のちがいを押さえる。中身が $3 x$ なら連鎖律で $\times 3$ 。

発展 — 一歩先へ。 $sin$ と $cos$ が、微分で $4$ 周期の循環をなすこと。この構造は、意外な場所で再会する。

虚数単位 $i$ の累乗を見てほしい。

$i^{1} = i, i^{2} = - 1, i^{3} = - i, i^{4} = 1, i^{5} = i, \dots$

$4$ 回掛けると、元に戻る。

微分の循環と、まったく同じ周期だ。

$sin x \to cos x \to - sin x \to - cos x \to sin x$

$1 \to i \to - 1 \to - i \to 1$

「微分する」ことと「 $i$ を掛ける」ことが、同じ構造をもっている。

これは偶然ではない。

オイラーの公式が、その理由を明かす。

$e^{i x} = cos x + i sin x$

両辺を $x$ で微分してみよう。

左辺: $(e^{i x})^{'} = i e^{i x}$ (合成関数。内側 $i x$ の微分が $i$ )

右辺: $(cos x + i sin x)^{'} = - sin x + i cos x$

右辺を、 $i$ でくくり直す。

$- sin x + i cos x = i (cos x + i sin x)$

( $i \times i sin x = i^{2} sin x = - sin x$ だから ✓)

両辺が一致した。

$(e^{i x})^{'} = i e^{i x}$

「微分する」ことが、そのまま「 $i$ を掛ける」ことになっている!

三角関数の微分の循環は、複素数平面での $9 0^{\circ}$ 回転だったのだ。

$i$ を掛けることは、複素数平面で $9 0^{\circ}$ 回転させること( $\frac{π}{2}$ の回転)。

微分すると位相が $\frac{π}{2}$ 進む — この $2$ つは、同じことを言っている。

オイラーの公式に $x = π$ を代入すると

$e^{iπ} = cos π + i sin π = - 1$

$e^{iπ} + 1 = 0$

世界でもっとも美しいとされる式。 $e$ 、 $i$ 、 $π$ 、 $1$ 、 $0$ — 数学の $5$ つの基本定数が、 $1$ 行に収まっている。

その根っこには、「 $cos$ を微分すると $- sin$ 」という、この問題の $1$ 行がある。

符号のマイナス $1$ つが、 $9 0^{\circ}$ の回転を、そして数学最高の等式を支えているのだ。

答

$(cos x)^{'} = - sin x$ 、 $(cos 3 x)^{'} = - 3 sin 3 x$

別解

$cos$ を $sin$ に翻訳して、公式を $1$ つに減らす。

三角関数には、こんな関係がある。

$cos x = sin (\frac{π}{2} - x)$

確かめよう。 $x = 0$ なら、左辺 $= 1$ 、右辺 $= sin \frac{π}{2} = 1$ ✓

$x = \frac{π}{2}$ なら、左辺 $= 0$ 、右辺 $= sin 0 = 0$ ✓

この式を使えば、 $cos$ の微分公式を覚えなくても済む。

$sin$ の微分公式と、連鎖律だけで計算する。

外側: $sin ()$ の微分は $cos ()$ 。

内側: $\frac{π}{2} - x$ の微分は $- 1$ 。

$(cos x)^{'} = {sin (\frac{π}{2} - x)}^{'} = cos (\frac{π}{2} - x) \times (- 1)$

ここで、 $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ を使う。

$= - sin x$

本解と同じ ✓

マイナスの正体が分かった。

内側 $\frac{π}{2} - x$ の微分が $- 1$ だったのだ。

$cos$ のマイナスは、「 $sin$ の中で $x$ が逆向きに動いている」ことの現れだった。

このアイデアは、もっと広く使える。

$sin$ と $cos$ は、 $\frac{π}{2}$ ずらしただけの、同じ波である。

$cos x = sin (x + \frac{π}{2})$

この式でも、微分してみよう。

$(cos x)^{'} = cos (x + \frac{π}{2}) \times 1 = - sin x$

( $cos (x + \frac{π}{2}) = - sin x$ だから。)

同じ答え。

そして、この見方は美しい法則を教えてくれる。

「微分すると、位相が $\frac{π}{2}$ 進む」

$sin x^{'} cos x^{'} - sin x^{'} - cos x^{'} sin x$

$4$ 回微分すると、元に戻る。

波を微分するとは、波を $\frac{π}{2}$ だけずらすこと。 $4$ 回ずらせば $2 π$ で、 $1$ 周して元に戻る。

「 $cos$ の微分はマイナス $sin$ 」を丸暗記する代わりに、この円環を思い浮かべればいい。

符号を間違えたら、 $4$ つの循環を書いて確かめる。 暗記より、構造で覚えるほうが強い。

ポイント

$(cos x)^{'} = - sin x$ (マイナス)。
$sin$ は $+ cos$ 、 $cos$ は $- sin$ 。符号に注意。

よくある間違い

$(cos x)^{'} = sin x$ と、マイナスを落とす。 $cos$ の微分には必ず負号がつく
$(cos 3 x)^{'}$ で、マイナスは書けても内側の微分 $3$ を掛け忘れる。符号と係数の両方が要る
$(sin x)^{'} = - cos x$ と、 $sin$ のほうにマイナスをつけてしまう。負号がつくのは $cos$ の微分だけ