数学III / 微分法の計算

積の微分

★ 基礎積の微分

問題

関数 $y = (x^{2} + 1) (x - 3)$ を微分せよ。

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積の形の微分には専用の規則がある。展開してから項別に微分しても答えは同じ — 両方やって一致を確かめると、規則の練習になる。

解答・解説

方針

積の微分公式 $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ を使う。 $f = x^{2} + 1$ 、 $g = x - 3$ として、それぞれの導関数を組み合わせる。(展開してから微分しても同じ。)

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ つの式の掛け算だ。どう微分するか、道は $2$ つある。

展開してから、 $1$ 項ずつ微分する
積の微分公式を使う

この問題は展開できるので、どちらでも解ける。

それでも、あえて公式で解く。

なぜか。 これから出てくる積は、展開できないものばかりだからだ。

$x^{2} e^{x}, x sin x, e^{x} cos x$

こうした積は、展開しようがない。 積の微分公式が使えなければ、手も足も出ない。

$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$

「どちらが $f$ で、どちらが $g$ か」を決めて、機械的に当てはめる。

展開できる問題で公式に慣れておく — それが、この問題の本当の役目である。

公式積の微分

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}

$f = x^{2} + 1$ 、 $g = x - 3$ とする。 $f^{'} = 2 x$ 、 $g^{'} = 1$ 。

$y^{'} = f^{'} g + f g^{'} = 2 x (x - 3) + (x^{2} + 1) \cdot 1$

展開して整理する。

$= 2 x^{2} - 6 x + x^{2} + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 1$

まとめ:積の微分は「片方を微分 × もう片方 + そのまま × もう片方を微分」。 $2$ 項の和になる。多項式なら展開して微分しても同じ結果になるので、検算に使える。

発展 — 一歩先へ。 積の微分を、何回も繰り返すとどうなるか。

$(f g)^{''}$ を計算してみよう。

$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$

もう $1$ 回微分する。 各項に、また積の微分を使う。

$(f g)^{''} = (f^{''} g + f^{'} g^{'}) + (f^{'} g^{'} + f g^{''}) = f^{''} g + 2 f^{'} g^{'} + f g^{''}$

係数が $1, 2, 1$ になった。

$3$ 回微分すると?

$(f g)^{'''} = f^{'''} g + 3 f^{''} g^{'} + 3 f^{'} g^{''} + f g^{'''}$

係数は $1, 3, 3, 1$ 。

この数の並びに、見覚えがあるはずだ。

パスカルの三角形 — 二項係数である。

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

まったく同じ係数が現れる。

一般に、こう書ける。

$(f g)^{(n)} = k = 0 \sum n (k n) f^{(n - k)} g^{(k)}$

ライプニッツの公式という。

二項定理 $(a + b)^{n} = \sum (k n) a^{n - k} b^{k}$ と、瓜二つだ。

なぜ、こんな一致が起こるのか。

微分を $1$ 回するたびに、「 $f$ を微分するか、 $g$ を微分するか」の $2$ 択が生じる。 $n$ 回微分すれば、 $2^{n}$ 通りの選び方がある。

そのうち「 $f$ を $n - k$ 回、 $g$ を $k$ 回」微分するものが $(k n)$ 通り。

これは「 $n$ 個の $(a + b)$ から、 $a$ を $n - k$ 個、 $b$ を $k$ 個選ぶ」のと、まったく同じ数え上げである。

微分と、展開。 まるで無関係に見える $2$ つの操作が、同じ組み合わせの構造をもっている。

この公式は、実用的でもある。

$y = x^{2} e^{x}$ を $10$ 回微分せよ、と言われたら。

素直にやると、地獄だ。 だが、ライプニッツの公式なら

$(x^{2} e^{x})^{(10)} = (0 10) (x^{2}) e^{x} + (1 10) (2 x) e^{x} + (2 10) (2) e^{x} + 0 + \dots$

$x^{2}$ は $3$ 回微分すると $0$ になるので、 $3$ 項で終わる。

$= (x^{2} + 20 x + 90) e^{x}$

$10$ 回の微分が、 $3$ 行で片づいた。

「組み合わせの構造」を見抜くと、計算が消える。 数学のあちこちで、この快感に出会う。

答

$y^{'} = 3 x^{2} - 6 x + 1$

別解

展開してから微分する。そして、公式の"意味"を考える。

まず、素直に展開しよう。

$y = (x^{2} + 1) (x - 3) = x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$

あとは、 $1$ 項ずつ微分するだけ。

$y^{'} = 3 x^{2} - 6 x + 1$

公式を使った答えと、一致する ✓

この方法の価値は、検算にある。

積の微分公式は、符号や項を間違えやすい。 展開できる問題なら、展開ルートで検算できる。

では、なぜ $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ という形なのか。

面積で考えると、腑に落ちる。

縦 $f$ 、横 $g$ の長方形を想像しよう。 面積は $f g$ である。

時間が少し( $Δ x$ だけ)進むと、縦も横も少し伸びる。

縦が $Δ f$ 伸びる → 面積が $Δ f \times g$ 増える(下に横長の帯が追加)
横が $Δ g$ 伸びる → 面積が $f \times Δ g$ 増える(右に縦長の帯が追加)
角の小さな長方形 $Δ f \times Δ g$ も増えるが、これは極めて小さい( $2$ つの微小量の積)

だから、面積の増加は

$Δ (f g) \approx (Δ f) \cdot g + f \cdot (Δ g)$

両辺を $Δ x$ で割って、 $Δ x \to 0$ とすると

$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$

公式の $2$ 項は、「縦が伸びた分」と「横が伸びた分」だったのだ。

角の小さな長方形が無視できるのは、 $Δ f \cdot Δ g$ が「小さい $\times$ 小さい」= 極めて小さいから。 極限をとると、完全に消える。

この見方から、 $(f g)^{'} = f^{'} g^{'}$ ではない理由も分かる。

縦だけ伸ばしても、横だけ伸ばしても、面積は増える。 両方の寄与を足さなければならない。

「 $2$ つの変化が、それぞれ独立に効く」 — これが積の微分の心である。

$3$ つの積なら?

$(f g h)^{'} = f^{'} g h + f g^{'} h + f g h^{'}$

「 $1$ つずつ微分して、残りはそのまま」を、 $3$ 通り足す。 直方体の $3$ つの面が伸びる、と思えばよい。

ポイント

$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ 。
「微分 × そのまま」を $2$ 通り足す。

よくある間違い

$(f g)^{'} = f^{'} g^{'}$ としてしまう(それぞれを微分して掛ける)。積の微分は $2$ 項の和になる
$f^{'} g + f g^{'}$ の $2$ 項目で、 $f$ をうっかり $f^{'}$ にしてしまう。各項で微分するのは片方だけ
展開ルートで検算するとき、展開そのものを間違える。 $(x^{2} + 1) (x - 3)$ の展開は $4$ 項すべてを丁寧に出す