数学III / 微分法の計算

合成関数の微分

★ 基礎合成関数の微分

問題

関数 $y = (2 x + 1)^{3}$ を微分せよ。

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$3$ 乗の外側と、 $2 x + 1$ の内側 — $2$ 段構えの合成関数。外側を微分したあと、内側の微分を掛け忘れないこと。

解答・解説

方針

合成関数の微分(連鎖律)。「外側の微分 × 内側の微分」。外側は $()^{3}$ を微分して $3 ()^{2}$ 、内側 $2 x + 1$ の微分は $2$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(2 x + 1)^{3}$ は、入れ子構造をしている。

外側と内側に分けて見る。

外側: $()^{3}$ — かたまりを $3$ 乗する操作
内側: $2 x + 1$ — かたまりの中身

この $2$ 段構えの関数を、合成関数という。

微分の仕方は、こうだ。

$外側の微分 \times 内側の微分$

外側: $u^{3}$ を $u$ で微分して $3 u^{2}$ 。 $u = 2 x + 1$ を戻して $3 (2 x + 1)^{2}$ 。

内側: $2 x + 1$ を $x$ で微分して $2$ 。

掛ける。

$y^{'} = 3 (2 x + 1)^{2} \times 2 = 6 (2 x + 1)^{2}$

忘れがちなのが、この最後の「 $\times 2$ 」だ。 内側の微分を掛け忘れると、答えが $3$ 分の $1$ になってしまう。

「外を微分して、中を微分して、掛ける。」 この連鎖律が、数学IIIの微分の中核である。

公式合成関数の微分(連鎖律)

{f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

(外側の微分 × 内側の微分)

外側は $()^{3}$ 、内側は $2 x + 1$ 。

① 外側を微分する。 $()^{3}$ を微分して $3 ()^{2}$ 。中身はそのまま。

$3 (2 x + 1)^{2}$

② 内側の微分をかける。 $(2 x + 1)^{'} = 2$ 。

$y^{'} = 3 (2 x + 1)^{2} \times 2 = 6 (2 x + 1)^{2}$

まとめ:合成関数は「外側を微分(中身そのまま)× 内側を微分」。かっこの中身を $1$ つのかたまりとみて外を微分し、最後に中身の微分をかける。連鎖律は数III微分の最重要ツールだ。

発展 — 一歩先へ。 連鎖律は、単なる計算規則ではない。「変化が伝わる」ことの数学的な表現だ。

具体例で考えよう。

風船を膨らませている。 半径 $r$ が、 $1$ 秒に $0.1$ cm ずつ増えているとする。

体積 $V$ は、 $1$ 秒に何 cm³ 増えるか。

体積の式は $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ 。

知りたいのは $\frac{d V}{d t}$ (時間あたりの体積の変化)だ。

連鎖律を使う。

$\frac{d V}{d t} = \frac{d V}{d r} \cdot \frac{d r}{d t}$

$\frac{d V}{d r} = 4 π r^{2} (表面積!)$

$\frac{d V}{d t} = 4 π r^{2} \times 0.1$

半径が $10$ cm のとき

$\frac{d V}{d t} = 4 π (100) (0.1) = 40 π \approx 126 cm^{3} / 秒$

面白いことに気づく。

$\frac{d V}{d r} = 4 π r^{2} = (球の表面積)$

「体積の、半径についての変化率」は、「表面積」に等しい。

当たり前だ。 半径を少し増やすと、球の表面に薄い皮が $1$ 枚追加される。 その体積は「表面積 $\times$ 厚み」だからだ。

同じことが、円でも起こる。

$\frac{d}{d r} (π r^{2}) = 2 π r = (円周)$

面積を微分すると、円周になる。

「 $r$ を増やすと、外周に沿って細い輪が $1$ つ追加される」 — その面積が「円周 $\times$ 幅」だからだ。

連鎖律の応用例は、理科の全域に広がっている。

物理: 位置 → 速度 → 加速度(時間で $2$ 回微分)
化学: 反応速度が濃度の関数、濃度が時間の関数
経済: 利益が価格の関数、価格が需要の関数
機械学習: 誤差が重みの関数 — 誤差逆伝播法は、連鎖律を何万層も繰り返す計算だ

AI が学習できるのは、連鎖律のおかげである。

深層学習の「バックプロパゲーション」は、 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}$ を、何千万回も適用しているにすぎない。

「変化は、鎖のように伝わる」 — この $1$ 行の原理が、現代のAIを動かしている。

答

$y^{'} = 6 (2 x + 1)^{2}$

別解

展開してから微分し、公式の正しさを自分の目で確かめる。

「内側の微分を掛ける」が本当に必要か、検算しよう。

まず展開する。

$(2 x + 1)^{3} = (2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} (1) + 3 (2 x) (1)^{2} + 1^{3}$

$= 8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1$

$1$ 項ずつ微分する。

$y^{'} = 24 x^{2} + 24 x + 6$

これが、公式の答えと一致するか。

公式の答えは $6 (2 x + 1)^{2}$ 。展開してみる。

$6 (2 x + 1)^{2} = 6 (4 x^{2} + 4 x + 1) = 24 x^{2} + 24 x + 6$

ぴったり一致 ✓

もし「 $\times 2$ 」を忘れて $3 (2 x + 1)^{2}$ としていたら?

$3 (4 x^{2} + 4 x + 1) = 12 x^{2} + 12 x + 3$

正しい答えのちょうど半分。 展開ルートと合わない。

「内側の微分」が本当に必要だったことが、これで確かめられた。

なぜ「掛ける」のか。連鎖律の意味を考えよう。

歯車を思い浮かべてほしい。

$x$ が $1$ 回転すると、 $u = 2 x + 1$ は $2$ 回転する(内側の変化率 $2$ )。

$u$ が $1$ 回転すると、 $y = u^{3}$ は $3 u^{2}$ 回転する(外側の変化率)。

では、 $x$ が $1$ 回転したら、 $y$ は何回転するか。

$3 u^{2} \times 2$

$2$ 段の歯車をつなぐと、変化率は掛け算になる。

ライプニッツの記法で書くと、驚くほど明快だ。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

$d u$ が約分されて消える — 分数のように見える。

これは偶然ではない。 ライプニッツは、微分をこう書けば連鎖律が「約分」に見えることを、意図して設計した。

記号のうまさが、理解を助ける。 「 $d y / d x$ 」という書き方は、 $300$ 年経っても生き残っている名作なのだ。

ちなみに、この問題では展開できたが、 $(2 x + 1)^{100}$ ならどうか。

展開は不可能。 だが連鎖律なら $1$ 行だ。

$y^{'} = 100 (2 x + 1)^{99} \times 2 = 200 (2 x + 1)^{99}$

公式の真価は、展開できない場面で発揮される。

ポイント

連鎖律:外側の微分 × 内側の微分。
外側を微分するとき中身はそのまま。

よくある間違い

内側の微分( $\times 2$ )を掛け忘れて $3 (2 x + 1)^{2}$ とする。合成関数は必ず「外の微分 $\times$ 中の微分」
$3 (2 x + 1)^{2}$ の $(2 x + 1)$ を $x$ に置き換えて $3 x^{2}$ としてしまう。外側を微分したあとも、中身はそのまま残る
展開ルートで検算するとき、 $(2 x + 1)^{3}$ の展開の係数( $8, 12, 6, 1$ )を間違える。 $(2 x)^{3} = 8 x^{3}$ のように、 $2 x$ ごと $3$ 乗する