対数微分法(積と商)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ は根号と分数が絡んで、そのままでは微分しにくい。

両辺の対数をとると、$\frac{1}{2}(\log (x-1)-\log (x+1))$ と和・差にほどける。すると微分がぐっと楽になる。

積・商・累乗が絡む複雑な式は、対数でほどく。これが対数微分法の発想の典型だ。

① 両辺の対数をとる。 $\log$ の性質で分解。

$$\log y=\frac{1}{2}\log \frac{x-1}{x+1}=\frac{1}{2}\{\log (x-1)-\log (x+1)\}$$

② 両辺を微分する。 左辺は $\frac{y^{\prime }}{y}$。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})$$

③ 中カッコを通分する。 $\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{(x-1)(x+1)}$。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}$$

④ $y^{\prime }$ を求める。 $y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ をかける。

$$y^{\prime }=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\cdot \frac{1}{(x-1)(x+1)}$$

まとめ:対数微分法は「積・商・累乗を、$\log$ の性質で和・差・係数にほどく」のが威力。$\frac{y^{\prime }}{y}$ の形で微分でき、最後に $y$ をかけて戻す。根号は $\frac{1}{2}$ 乗として前に出る。

発展 — 一歩先へ。 この関数の姿をつかむには、両辺を $2$ 乗するとよい。$y^2=\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$ と、平行移動した反比例の形に化ける。

こうすると増減が一目でわかる。$x$ が $1$ から大きくなるほど $\frac{2}{x+1}$ は $0$ に近づき、$y^2$ は $0$ から $1$ へ増える。だから $y$ は $0$ と $1$ のあいだを単調に増える有界な関数で、グラフは幅 $0<y<1$ の帯に収まる。

導関数が $x>1$ でつねに正だったのは、この単調増加の裏づけだ。根号と分数が入り組んだ式でも、$2$ 乗して隠れた素直な形を見抜くと、増減も値域も一気に見通せる。

別解

別解 — 指数の形に直して積の微分で押す(得意な人向けの視点)。 対数をとらずに、根号と分数を指数にまとめて直接微分してもよい。

$y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=(x-1{)}^{1/2}(x+1{)}^{-1/2}$ と書く。これは $2$ つのべきの積だから、積の微分と合成関数の微分でそのまま計算できる。

$$y^{\prime }=\frac{1}{2}(x-1{)}^{-1/2}(x+1{)}^{-1/2}+(x-1{)}^{1/2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x+1{)}^{-3/2}.$$

共通因数 $\frac{1}{2}(x-1{)}^{-1/2}(x+1{)}^{-3/2}$ でくくると、残るのは $(x+1)-(x-1)=2$。

$$y^{\prime }=\frac{1}{2}(x-1{)}^{-1/2}(x+1{)}^{-3/2}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{x-1}(x+1{)}^{3/2}}=\frac{1}{(x+1)\sqrt{(x-1)(x+1)}}.$$

対数微分法の本解と同じ答えに達する。負のべきをためらわず使えるなら、対数をとらずとも一気に微分できる。どちらの道でも根号の $\frac{1}{2}$ 乗が主役だ。