数学III / 微分法の計算

第2次導関数(積)

★★★ 応用高次導関数積の微分

問題

関数 $y = x e^{x}$ の第 $2$ 次導関数 $y^{''}$ を求めよ。

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$1$ 回目は積の規則。出てきた結果に、もう一度積の規則。共通因数でくくると規則性が見えてくる。

解答・解説

方針

$1$ 回微分( $y^{'}$ )を積の微分で求め、それをもう $1$ 回微分( $y^{''}$ )する。 $e^{x}$ が微分しても不変なので、共通因数でくくって整理する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x e^{x}$ の第 $2$ 次導関数は、 $1$ 回目を積の微分で求め、それをもう $1$ 回微分すればよい。

$e^{x}$ は微分しても変わらない。だから共通因数でくくると、式がすっきりする。

くくるたびに $(x + n) e^{x}$ の形が見えてくる。積の高次導関数は、微分のたびに共通因数でまとめる。これが発想だ。

公式積の微分

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}

、

(e^{x})^{'} = e^{x}

① $1$ 回微分する。 $f = x$ 、 $g = e^{x}$ 。

$y^{'} = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = (x + 1) e^{x}$

② もう $1$ 回微分する。 これも積( $x + 1$ と $e^{x}$ )。

$y^{''} = 1 \cdot e^{x} + (x + 1) \cdot e^{x} = e^{x} + (x + 1) e^{x} = (x + 2) e^{x}$

まとめ: $x e^{x}$ は微分するたびに「 $e^{x}$ でくくれる形」が続く。 $1$ 回で $(x + 1) e^{x}$ 、 $2$ 回で $(x + 2) e^{x}$ 。一般に $n$ 回微分すると $(x + n) e^{x}$ になる、きれいなパターンだ。

発展 — 一歩先へ。 $y = x e^{x}$ は、微分方程式 $y^{''} - 2 y^{'} + y = 0$ を満たす。実際 $2 y^{'} - y = 2 (x + 1) e^{x} - x e^{x} = (x + 2) e^{x} = y^{''}$ で確かめられる。

この方程式は $(t - 1)^{2} = 0$ を特性方程式にもつ。解が $t = 1$ の重解のとき、 $e^{x}$ だけでは足りず、相棒として $x e^{x}$ が現れる。 $x e^{x}$ に $x$ が掛かるのは、この重解のためだ。

重解のとき「もとの指数関数 $\times x$ 」が解に加わる現象は、線形の微分方程式や漸化式に共通して起きる。 $x e^{x}$ の高次導関数がきれいなのは、背後にこの構造があるからだ。

答

$y^{''} = (x + 2) e^{x}$

別解

別解 — 導関数の形が閉じることを使う(得意な人向けの視点)。 $x e^{x}$ を微分していくと、答えはいつも「( $1$ 次式) $\times e^{x}$ 」の形になる。この形が微分で閉じることを利用する。

一般に $(a x + b) e^{x}$ を微分すると、積の微分で

${(a x + b) e^{x}}^{'} = a e^{x} + (a x + b) e^{x} = (a x + a + b) e^{x} .$

つまり $x$ の係数 $a$ はそのまま、定数だけが $a + b$ に増える。 $(a, b)$ が $(a, a + b)$ に移る、と読める。

出発は $y = x e^{x}$ すなわち $(a, b) = (1, 0)$ 。 $1$ 回で $(1, 1)$ 、 $2$ 回で $(1, 2)$ となり、 $y^{''} = (x + 2) e^{x}$ 。共通因数でくくる本解と同じ答え。係数 $1$ は不動で、定数が $1$ ずつ増えるから $(x + n) e^{x}$ になる。

ポイント

$y^{''} = (y^{'})^{'}$ 。積の微分を $2$ 回。
$(x e^{x})^{(n)} = (x + n) e^{x}$ のパターン。

よくある間違い

$1$ 回目の積の微分で $(x)^{'} e^{x} = e^{x}$ の項を落とし、 $y^{'} = x e^{x}$ としてしまう。
$2$ 回目に $(x + 1)$ の微分 $1$ の寄与を忘れ、 $y^{''} = (x + 1) e^{x}$ とする。
$e^{x}$ は微分しても $e^{x}$ のままなのに、余計な係数を掛けて $2 e^{x}$ 等としてしまう。