対数微分法(x の sin 乗)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^{\sin x}$ は、肩が変数の $\sin x$ になっている。指数が定数でないので、ふつうのべきの微分は使えない。

そこで対数微分法。両辺の対数をとると $\log y=\sin x\log x$ になる。

右辺は $\sin x$ と $\log x$ の積だ。だから積の微分で処理できる。肩が変数の累乗は対数をとり、出てきた積を積の微分で、という発展形だ。

① 両辺の対数をとる。

$$\log y=\log x^{\sin x}=\sin x\log x$$

② 両辺を微分する。 左辺は $\frac{y^{\prime }}{y}$。右辺は積 $\sin x\cdot \log x$ の微分。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=(\sin x{)}^{\prime }\log x+\sin x(\log x{)}^{\prime }=\cos x\log x+\sin x\cdot \frac{1}{x}$$

③ $y^{\prime }$ を求める。 $y=x^{\sin x}$ をかける。

$$y^{\prime }=x^{\sin x}(\cos x\log x+\frac{\sin x}{x})$$

まとめ:$x^{\sin x}$ のように「指数が変数」なら対数微分法。$\log y=\sin x\log x$ にすると、右辺が積になり、積の微分で処理できる。$\frac{y^{\prime }}{y}$ に $y$ をかけて戻すのを忘れずに。

発展 — 一歩先へ。 $x^{\sin x}$ という関数そのものの姿を見てみる。$\sin x$ は $-1$ と $1$ の間で振れるので、肩の値しだいで $y$ が大きく変わる。

$x\ge 1$ のとき、底 $x\ge 1$ だから肩が大きいほど値も大きい。$\sin x$ が $-1$ から $1$ まで動くので $\frac{1}{x}\le x^{\sin x}\le x$ が成り立つ。$\sin x=1$ の所で上端 $y=x$ に、$\sin x=-1$ の所で下端 $y=\frac{1}{x}$ に触れる。

さらに $\sin x=0$、すなわち $x=k\pi$ では $y=x^0=1$。だから $x^{\sin x}$ のグラフは、$y=\frac{1}{x}$、$y=1$、$y=x$ の間を縫うように振動する。式だけの関数にも、はっきりした形がある。

別解

別解 — 底と指数を別々に固定して足す(得意な人向けの視点)。 $f^g$ の形は、「指数を定数と思った微分」と「底を定数と思った微分」を足すと求まる。

$x^{\sin x}$ で、まず指数 $\sin x$ を定数扱いすると、べきの微分で $\sin x\cdot x^{\sin x-1}=x^{\sin x}\cdot \frac{\sin x}{x}$。

次に底 $x$ を定数扱いすると、指数関数の微分で $x^{\sin x}\log x\cdot (\sin x{)}^{\prime }=x^{\sin x}\cos x\log x$。

この $2$ つを足すと

$$y^{\prime }=x^{\sin x}\left(\frac{\sin x}{x}+\cos x\log x\right).$$

対数をとる本解と同じ答え。$x$ が底にも指数にも入るとき、その $2$ か所の効きめを別々に測って足す、と見れば迷わない。