陰関数の微分(デカルトの葉線)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^3+y^3=3xy$ は $y$ について解けない(3次)。だが接線の傾き $y^{\prime }$ だけなら、陰関数の微分で出せる。

$y$ を $x$ の関数とみて、両辺を $x$ で微分する。$y^3$ の微分は合成関数で $3y^2{y}^{\prime }$、$3xy$ は積の微分で $3y+3x{y}^{\prime }$。

出てきた式を $y^{\prime }$ について解き、最後に点の座標を代入すれば傾きが決まる。

① 両辺を微分。 $x^3+y^3=3xy$ を $x$ で微分すると $$3x^2+3y^2{y}^{\prime }=3y+3x{y}^{\prime }.$$ ② $y^{\prime }$ について解く。 $y^{\prime }$ の項を集めて $$3y^2{y}^{\prime }-3x{y}^{\prime }=3y-3x^2⟹y^{\prime }(y^2-x)=y-x^2⟹y^{\prime }=\frac{y-x^2}{y^2-x}.$$ ③ 代入。 $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$(この点は曲線上:${\left(\frac{3}{2}\right)}^3\cdot 2=\frac{27}{4}=3\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{3}{2}$)で $$y^{\prime }=\frac{\frac{3}{2}-\frac{9}{4}}{\frac{9}{4}-\frac{3}{2}}=\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}}=-1.$$

まとめ 陰関数の微分で $y^{\prime }=\frac{y-x^2}{y^2-x}$、点 $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ を代入して傾き $-1$。陰関数の微分と接線の融合。$y^3\to 3y^2{y}^{\prime }$ が要。

発展 — 一歩先へ。 この曲線(デカルトの葉線)は原点 $(0,0)$ も通るが、そこでは接線が $2$ 本ある特異点(自分自身と交差する結び目)。陰関数微分の式 $\frac{y-x^2}{y^2-x}$ は原点で $\frac{0}{0}$ となり傾きが1つに定まらない — 特異点のサインだ。滑らかな点でだけ「傾き」が意味をもつことを、この点が教えてくれる。

別解

別解 — 曲線の対称性で傾きを見抜く(得意な人向けの高い視点)。 方程式 $x^3+y^3=3xy$ は、$x$ と $y$ を入れ替えても変わらない($x\leftrightarrow y$ で不変)。つまり曲線は直線 $y=x$ について対称だ。

点 $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ はその対称軸 $y=x$ の上にある(実際 $\frac{27}{8}+\frac{27}{8}=\frac{27}{4}$、$3\cdot \frac{9}{4}=\frac{27}{4}$ で曲線上)。

$y=x$ 対称な曲線が対称軸と交わる点では、接線は対称軸に直交する(特異点でない限り)。$y=x$ に垂直な直線の傾きは $-1$。

だから傾きは $-1$。陰関数微分(本解)で $\frac{y-x^2}{y^2-x}$ に $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ を入れても $-1$ で一致する。対称性を使うと、微分の前に答えが見えることがある。