数学III / 微分法の計算

逆関数の第2次導関数

最難関編逆関数の微分合成関数の微分凸性

問題

$f$ は2回微分可能で、つねに $f^{'} (x) > 0$ であるとする。 $f$ の逆関数を $g$ とする(すなわち、すべての $x$ で $g (f (x)) = x$ )。

(1) $y = f (x)$ とするとき

$g^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( x )}, g^{''} (y) = - \frac{f ^{''} ( x )}{{ f ^{'} ( x ) } ^{3}}$

が成り立つことを示せ。

(2) $f (x) = e^{x} + 2 x$ の逆関数を $g$ とするとき、 $g^{'} (1)$ と $g^{''} (1)$ を求めよ。

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$g$ の式は書けない。それでも $g (f (x)) = x$ は書ける。この等式は何回でも微分できる。

(2) 公式に代入するのは「 $y = 1$ に対応する $x$ 」での値だ。それはどこか。

解答・解説

方針

逆関数 $g$ は式で書けない( $e^{x} + 2 x = y$ は $x$ について解けない)。それでも $g (f (x)) = x$ という恒等式は使える。両辺を $x$ で微分すれば $g^{'}$ が、もう一度微分すれば $g^{''}$ が求まる。(2)ではまず $y = 1$ に対応する $x$ を見つける。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 逆関数 $g$ を式で書こうとしても書けない。 $e^{x} + 2 x = y$ を $x$ について解く方法は存在しないからだ。

それでも微分係数は求まる。ここがこの分野の要である。

鍵は $g (f (x)) = x$ という恒等式だ。両辺を $x$ で微分すれば、 $g$ の正体を知らなくても $g^{'}$ の値が出る。2階も同じで、もう一度微分するだけだ。ただし左辺は合成関数だから、微分すると $g^{''}$ と $g^{'}$ の両方が現れる。すでに分かっている $g^{'}$ を代入すれば $g^{''}$ が解ける。

(2)では、公式に入れる $x$ を間違えないことが大事だ。使うのは「 $y = 1$ に対応する $x$ 」である。 $e^{x} + 2 x = 1$ を睨むと $x = 0$ が見える。

公式逆関数の微分

g^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( x )}

(

y = f (x)

)。2階は

g^{''} (y) = - \frac{f ^{''} ( x )}{{ f ^{'} ( x ) } ^{3}}

① 1階を出す。 $g (f (x)) = x$ の両辺を $x$ で微分する。左辺は合成関数だから

$g^{'} (f (x)) \cdot f^{'} (x) = 1$

$f^{'} (x) > 0$ だから割れて、 $y = f (x)$ とすれば $g^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( x )}$ 。

② 2階を出す。 ①の等式 $g^{'} (f (x)) \cdot f^{'} (x) = 1$ を、もう一度 $x$ で微分する。左辺は積の微分と合成関数の微分の両方を使う。

$g^{''} (f (x)) \cdot f^{'} (x) \cdot f^{'} (x) + g^{'} (f (x)) \cdot f^{''} (x) = 0$

すなわち $g^{''} (y) {f^{'} (x)}^{2} = - g^{'} (y) f^{''} (x)$ 。ここに①の $g^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( x )}$ を入れると

$g^{''} (y) {f^{'} (x)}^{2} = - \frac{f ^{''} ( x )}{f ^{'} ( x )} ⟹ g^{''} (y) = - \frac{f ^{''} ( x )}{{ f ^{'} ( x ) } ^{3}}$

③ (2) 対応する点を先に見つける。 $f (0) = e^{0} + 2 \cdot 0 = 1$ だから、 $y = 1$ に対応するのは $x = 0$ である( $f$ は増加関数だから、対応する $x$ はこれ1つ)。

$f^{'} (x) = e^{x} + 2$ より $f^{'} (0) = 3$ 。 $f^{''} (x) = e^{x}$ より $f^{''} (0) = 1$ 。公式に入れて

$g^{'} (1) = \frac{1}{f ^{'} ( 0 )} = \frac{1}{3}, g^{''} (1) = - \frac{f ^{''} ( 0 )}{{ f ^{'} ( 0 ) } ^{3}} = - \frac{1}{27}$

増加関数 y=e^x(青、下に凸)とその逆関数 y=log x(赤、上に凸)は、直線 y=x(破線)について対称。折り返すと凸性が裏返る。公式 g''=-f''/(f')^3 の負号は、この裏返りを表している

まとめ: 逆関数は「式が書けなくても微分できる」。 $g (f (x)) = x$ を必要な回数だけ微分する、これが正攻法である。負号の意味は図で確かめられる。増加関数のグラフを直線 $y = x$ で折り返すと、下に凸は上に凸へ裏返る。 $g^{''}$ の符号が $f^{''}$ の逆になるのは、この裏返りの現れだ。

発展 — 一歩先へ。 公式は既知の例で検算する習慣をつけたい。 $f (x) = e^{x}$ (下に凸)なら逆関数は $g (y) = lo g y$ (上に凸)である。公式に入れると

$- \frac{f ^{''} ( x )}{{ f ^{'} ( x ) } ^{3}} = - \frac{e ^{x}}{e ^{3 x}} = - e^{- 2 x} = - \frac{1}{y ^{2}}$

直接微分した $(lo g y)^{''} = - \frac{1}{y ^{2}}$ と一致する。公式を「覚える」のではなく、こうして手元の例で検算すれば、符号やべき指数の記憶違いはその場で潰せる。さらに3階まで同じ手順を続けると $g^{'''}$ の公式も出る。 $g (f (x)) = x$ という1本の恒等式が、いくらでも情報を吐き出してくれるのだ。

答

(1) $g (f (x)) = x$ の両辺を2回微分する(証明) (2) $y = 1$ に対応するのは $x = 0$ 。 $f^{'} (0) = 3$ 、 $f^{''} (0) = 1$ より $g^{'} (1) = \frac{1}{3}$ 、 $g^{''} (1) = - \frac{1}{27}$

別解

$x$ を $y$ の関数と見て、微分の乗り換えで導く(高い視点)。 ライプニッツ流の記号で書くと、公式の構造が別の顔を見せる。

出発点は $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{d y / d x}$ である。これを、さらに $y$ で微分したい。だが右辺は $x$ の式だ。そこで「微分の乗り換え」

$\frac{d}{d y} = \frac{d}{d x} \cdot \frac{d x}{d y}$

を使う。すると

$\frac{d ^{2} x}{d y ^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{1}{d y / d x}) \cdot \frac{d x}{d y} = - \frac{d ^{2} y / d x ^{2}}{( d y / d x ) ^{2}} \cdot \frac{1}{d y / d x} = - \frac{d ^{2} y / d x ^{2}}{( d y / d x ) ^{3}}$

記号は違うが中身は本解と同じである。この書き方だと、逆関数の微分が媒介変数表示の微分とまったく同じ形をしていることが見えてくる。実際、 $y = f (x)$ のグラフは $x$ 自身を媒介変数とする表示 $(x, y) = (x, f (x))$ にほかならない。「逆関数」も「媒介変数」も、 $\frac{d}{d ( 別の変数 )}$ への乗り換えという1つの操作の顔違いなのだ。

検算しておく。 $f (x) = e^{x} + 2 x$ なら $\frac{d ^{2} x}{d y ^{2}} = - \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 2 ) ^{3}}$ で、 $x = 0$ を入れて $- \frac{1}{27}$ 。本解と一致する。

ポイント

$g (f (x)) = x$ を微分すれば $g$ の式を知らずに $g^{'}$ が出る。
もう一度微分すると $g^{''}$ と $g^{'}$ が現れる。 $g^{'}$ を代入して解く。
代入するのは「 $y$ に対応する $x$ 」での値。 $f (0) = 1$ に注意。

よくある間違い

$g^{''} (y) = \frac{1}{f ^{''} ( x )}$ と書いてしまう。1階の「逆数」の形をそのまま2階に持ち込む誤りである。 $g (f (x)) = x$ を2回微分すれば、そんな形にならないことはすぐ分かる。
(2)で $y = 1$ に対応する $x$ を求めずに $f^{'} (1)$ 、 $f^{''} (1)$ を代入する。公式の右辺に入れるのは $x = 0$ での値である。
$e^{x} + 2 x = 1$ を式変形で解こうとして迷い込む。左辺は増加関数だから解はたかだか1つ。 $x = 0$ を入れて $1$ になることを確かめれば、一意性まで込みで解決する。